Упражнения

1. Выяснить, образуют ли группу следующие множества:

1) целые числа относительно сложения;

2) четные числа относительно сложения;

3) неотрицательные числа относительно сложения;

4) рациональные числа относительно сложения;

5) рациональные числа относительно умножения;

6) рациональные числа, отличные от нуля, относительно умножения;

7) числовые матрицы вида 2х2 относительно умножения;

8) числовые невырожденные матрицы вида 2х2 относительно умножения;

9) целочисленные матрицы вида 2х2 с определителем 1 относительно умножения;

10) линейные функции ах+в с коэффициентом а ¹ 0 относительно суперпозиции.

2. Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами или телами относительно указанных операции над элементами:

1) целые числа относительно сложения и умножения;

2) числа вида k×p, где р – фиксированное число и k = 0, ±1, ±2, …, относительно сложения и умножения;

3) рациональные числа относительно сложения и умножения;

4) действительные числа относительно сложения и умножения;

5) числа вида c целыми a и b относительно сложения и умножения;

6) числа вида c рациональными a и b относительно сложения

и умножения;

7) комплексные числа относительно сложения и умножения;

8) комплексные числа вида c целыми a и b относительно сложения и умножения.

3. Определить, являются ли следующие векторы линейно зависимыми:

1). `a<sub>1</sub> = (5; 4; 3), `a₂ = (3; 3; 2), `a₃ = (8; 1; 3).

2). `b<sub>1</sub> = (1; 2; 3), `b₂ = (4; 5; 6), `b₃ = (7; 8; 9).

3). `е<sub>1</sub> = (1; 4; 3), `e₂ = (2; 1; 4), `e₃ = (3; 2; 1).

4. В пространстве числовых строк дана система векторов .

Выделить максимальную линейно независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы:

а)

б)

в)

г)

д)

5. В пространстве числовых строк дана система векторов Можно ли принять эти векторы за базис? Каковы координаты вектора в этом базисе?

а).

б)

в)

152