Умножение на число.

Произведением матрицы А=(а_ij) на число k называется матрица В=(b_ij) такая, что b_ij=k^..a_ij (i= , j= ).

Пример 4:

А= , k=4, А^.k= .

Матрица –А=(-1)^.А называется противоположной матрице А.

Свойства умножения матриц на число:

1. ^.А=

2. ^.(А+В)= ;

3. ^.А= ;

4. ^.( )=( )^.А,

где А, В- матрицы, -числа.

Произведение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_{m n}=(a_ij) на матрицу B_{n p}=(b_jk) называется матрица С_{m p}=(c_ik) такая, что

c_ik=a_i1 ^.b_1k+a_i2 ^.b_2k+…+a_in ^.b_nk

Пример 5: Группировка продаж по различным филиалам фирмы «Башмачок» представлена таблицей:

Таблица 3.

Филиалы	Вид продукции и его цена (руб.)
	I (2 тыс.)	II (3 тыс.)	III (5 тыс.)
	Продано единиц
Продажа за рубежом. Розничная продажа Продажа другим фирмам	7 54 45	9 60 52	6 30 20

Выручка от продаж фирмы запишется:

Из данного примера видно, что при умножении двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

В общем виде:

; ;

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА, в противном случае равенство не верно.

Свойства умножения матриц:

1. АВ ВА

2. А^.(В^.С)=(А^.В)^.С;

3. А^.(В+С)=АВ+АС;

4. (А+В)^.С=АС+ВС;

5. (АВ)=( А)В.

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

1. (А^Т)^Т=А;

2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т;

3. (АВ)^Т=В^{Т .}А^Т.

Определители. Свойства определителей. Определители 2-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка

А= .

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число, равное а₁₁^.а₂₂ – а₁₂^.а₂₁ и обозначается или detА (детерминант А).

.

Элементы матрицы А называются элементами определителя . Элементы а₁₁, а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₂₁а₁₂ – второстепенную (правую).

Определители 3-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка

.

Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

.

Данное правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников или правилом Саррюса, которое символически можно записать так:

.

Определители n-го порядка.

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка

А= .

Определители n-го порядка, соответствующий матрице А обозначается

.

Минором М_ij элемента а_ij определителя называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением (адъюнктом) элемента а_ij определителя называется произведение минора М_ij этого элемента на множитель (-1)^i+j.

Определители n-го порядка (n ) называется число = , где а_ij-элемент i-ой строки, А_ij- алгебраическое дополнение этого элемента (i= ).

Свойства определителей

1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот, т.е.:

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и тоже любое число.

7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.