![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Статическое определение вероятности.
Классическое определение вер-ти не всегда приемлемо, если рез-т испытания не равновозможный. Пр: при бросании игральной кости падение на грани неравновозможно. В таких случаях используют стат-ое определение вер-ти. Пусть произведено n испытаний, при этом событие А наступило m раз (m – абсолютная частота наступления события А, а - относительная частота). P*(A)= . При проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, а P*(A) принимает значения, кот м довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n относит-ая частота приближается к некоторому числу, стабилизируясь около него и принимая все более устойчивые значения. Вер-ть события А в данном испытании – число P(A), около кот группируются значения относительно частот при больших n.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры.
1.
Вер-ть суммы 2 несовместимых событий А
и В равна сумме вероятностей этих
событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: n-общее
число возможных элементарных исходов,
m1-число
исходов, благоприятствующих событию
А, m2-число
исходов, благоприятствующих событию
В, Р(А+В)=
=
+
,
,
=P(B),P(A+B)=P(A)+P(B).
Следствие:1) справедливо д/любого
конечного числа попарно несовместимых
событий, 2) вер-ть суммы Р(А+
)=1
Пр: в урне 10 шаров (2 белых,3 красных,5
синих). Какова вер-ть вынуть цв.шар при
однократном событии? А-кр., В-син,
Р(А+В)=
=0,8,
P(A)+P(B)=
+
=0,8.
2.
Вер-ть совместного появления 2 событий
равна произведению вер-ти одного из них
на условную вер-ть другого, вычисленную
в предположении, что первое событие уже
наступило Р(АВ)=Р(А)*
(В).
Док-во:
(В)=
,
Р(АВ)=Р(А)*
(В).
Следствие: вер-ть совместного появления
нескольких событий равна n
произведению вер-ти одного из них на
условные вер-ти всех остальных, причем
вер-ть каждого последующего события
вычисляется в предположении, что все
предыд. события уже наступили. Пр: у
сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических
валиков. Сборщик взял один валик, а затем
второй. Найти вер-ть того, что 1-ый -
конусный, а 2-ой - эллиптический: вер-ть,
что 1-ый валик конусный (соб.А) Р(А)=
,
вер-ть,что 2-ой валик эллиптич.(соб.В),
вычисленный в предположении, чт0 1-ый
валик конусный
(B)=
,
Р(АВ)=Р(А)*
(В)=
*
=
.
Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения зависимых событий. Примеры.
Условной
вер-тью
(B)назыв
вер-ть соб.В, вычисленную в предположении,
что соб.А уже наступило
(B)=Р(АВ)/Р(А),где
Р(А)>0 тогда Р(АВ)=Р(А)*
(B).
Следствие: вер-тью совместимого появления
нескольких событий равна произведению
вер-ти одного из них на условные вер-ти
всех остальных, причем вер-ть каждого
послед. соб. вычисляется в предположении,
что все предыд. соб. уже наступили: Р(
)
= P(
)
(
)…
(
),
где
(
)
- вер-ть соб.
,вычисленная
в предположении, что события
наступили, т.е. Р(АВС)=Р(А)
(B)
(C)
Пр: В урне 3 белых и 3 черных шара, из нее
вынимают дважды по одному шару, не
возвращая обратно, найти вер-ть появления
белого шара при втором испытании (соб.В)
если при первом был извлечен черный шар
(соб.А): после первого испытания в урне
осталось 5 шаров и 3 из их белых:
(B)=
,
вер-ть появления белого шара при первом
испытании: P(A)=
=
,
найдем вер-ть Р(АВ) того, что в 1-ом
испытании появится черный шар, а во 2-ом
белый, общее число исходов совместного
появления 2-х шаров, безразлично какого
цвета равно числу размещений
=6*5=30,
из этого числа исходов событию АВ
благоприятствует 3*3=9 исходов, поэтому
Р(АВ)=
=
,
искомая усл.вер-ть
(B)=
=
.
Событие В назыв независимым от события
А, если появление события А не изменяет
вер-ти события В, т.е. если усл. вер-ть
события В равна его безусловной вер-ти
(B)=P(B),
P(A)P(B)=P(B)
,
это означает,что св-во независимости
взаимно. Д/независимых событий теорема
умножения имеет вид Р(АВ)=Р(А)Р(В). Пр:
найти вер-ть совместного поражения цели
двумя орудиями, если вер-ть поражения
цели 1-ым орудием (соб.А)=0,8, а 2-ым
(соб.В)=0,7: соб. А и В независимые, поэтому,
по теореме умножения Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56.
Следствие: вер-ть совместного появления
нескольких событий, независимых в
совокупности (т.е. независимы каждые 2
из них и независимы каждое событие и
все возможные произведения остальных)
равна произведению вер-тей этих событий:
P(
…
)
= P(
)*P(
)*…*P(
)