Лабораторная работа №11. Решение задач оптимизации с использованием аналитических методов

Цель работы:

• определить оптимальное время пребывания и максимальную концентрацию целевого продукта В для двух последовательных реакций первого порядка А  B  D в реакторе идеального вытеснения;

• получить выражения для определения оптимального времен пребывания и максимальной концентрации целевого продукта В для тех же реакций в реакторе идеального смешения;

• сравнить показатели, достигаемые в РИС и РИВ;

• для обратимой экзотермической реакции А↔В построить оптимальный температурный режим для заданных значений параметров.

1. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЕТОВ

Аналитические методы, основанные на классических методах математического анализа, используются в задачах, у которых целевая функция имеет аналитическое выражение, а число переменных невелико. Задача оптимизации формулируется следующим образом. Существует процесс, известна его математическая модель и установлен критерий оптимальности R в виде функции

R = R(X, U), (11.1)

где X – вектор входных параметров, U – вектор управляющих параметров. Заданы ограничения: X_min ≤ X_доп ≤ X_max; U_min ≤ U_доп ≤ U_max. При заданных ограничениях необходимо найти такие значения U, при которых R достигает экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной формулируется следующим образом: в точках экстремума производная dR(U)/dU либо обращается в нуль, либо не существует. Достаточное условие существования экстремума: если вторая производная меньше нуля, то в данной точке существует максимум, если вторая производная больше нуля, то в данной точке существует минимум, если вторая производная равна нулю, то необходимо исследовать производные высших порядков. Необходимым условием существования экстремума функции многих переменных является равенство нулю частных производных первого порядка по всем переменным.

1.1. Определение оптимального времени пребывания для двух последовательных реакций в РИВ

Для двух последовательных реакций АВD необходимо определить оптимальное время пребывания t_опт, при котором выход целевого продукта В будет достигать максимума.

Пусть a – начальная концентрация компонента А. В начальный момент времени концентрации компонентов В и D равны нулю, т.е. при t = 0:

C_B = C_D = 0.

Критерии оптимизации: выход целевого продукта – R = C_B / а.

Управляющее воздействие: время пребывания – t.

Пусть обе реакции протекают по первому порядку. Скорости реакций описываются следующими выражениями:

W₁ = K₁ C_А, (11.2)

W₂ = K₂ C_В. (11.3)

Изменение концентрации компонента В во времени:

dC_В/dt = W₁ – W₂ (11.4)

Из (11.2) найдем выражение для текущей концентрации С_A. Преобразуем (11.2):

–dС_A/dt = K₁ С_A,

dС_A/С_A = –K₁ dt.

Проинтегрировав, получим:

ln(С_A/a) = – K₁ t

или

С_A = a exp(–K₁t). (11.5)

Подставим (11.5) и (11.3) в (11.4), получим:

dC_В/dt = K₁ a exp(–K₁ t) – K₂ C_В

или

dC_В/dt + K₂C_В = K₁ a exp(–K₁t) (11.6)

Решив полученное уравнение, найдем выражение для определения текущей концентрации компонента В:

(11.7)

Выход целевого продукта

R=C_B/a= (11.8)

Исследуем экстремум полученной целевой функции (11.8). Условия существования максимума

dR/dt = 0,

d²R/dt² < 0.

Найдем первую производную и приравняем ее нулю:

(11.9)

Решив полученное уравнение, определим оптимальное время пребывания:

(11.10)

Для проверки выполнения достаточного условия существования максимума вычисляем вторую производную:

(11.11)

Так как вторая производная меньше 0, то в данной точке существует максимум целевой функции R. Подставив (11.10) в (11.7), получим выражение для определения максимальной концентрации компонента В:

(11.12)

Исходные данные для расчетов берутся из таблицы 11.1. Необходимо вычислить для заданных значений параметров оптимальное время пребывания и максимальную концентрацию целевого продукта В для двух последовательных реакций первого порядка А  B  D в реакторе идеального вытеснения.

1.2. Определение оптимального времени пребывания для двух последовательных реакций в РИС

Для аналогичных предыдущему примеру условий протекания реакций материальный баланс по компонентам А и В в реакторе идеального смешения имеет вид:

Q (C_Ao – C_A) – V K₁ C_A = 0,

–Q C_B + V (K₁ C_A – K₂ C_B) = 0. (11.13)

Разделив оба уравнения на расход реагентов V, получим:

C_Ao – C_A – t K₁ C_A = 0,

– C_B + t (K₁ C_A – K₂ C_B) = 0, (11.14)

где t = V/Q – среднее время пребывания реагентов в реакторе.

На основании уравнений (11.14) следует записать выражение для критерия оптимальности, приняв в качестве последнего выход целевого продукта В. Управляющим параметром является среднее время пребывания реагентов в реакторе.

Используя необходимое условие существования экстремума, продифференцировав полученное выражение по времени пребывания и приравняв его к нулю необходимо получить выражение для определения оптимального времени пребывания. Исходные данные для расчетов берутся аналогично предыдущему примеру (табл. 11.1). Необходимо вычислить для заданных значений параметров оптимальное время пребывания и максимальную концентрацию целевого продукта В для двух последовательных реакций первого порядка АBD в реакторе идеального смешения и сравнить аналогичные показатели, достигаемые в РИС и РИВ.

1.3. Определение оптимального температурного режима для обратимой экзотермической реакции

Под оптимальным температурным режимом процесса понимаются температурные условия, при которых обеспечивается максимальная производительность по целевому продукту в данном реакторе. Такой оптимум может быть обеспечен как при T=const, так и при изменении температуры:

• во времени для реактора периодического действия;

• по длине для реактора идеального вытеснения;

• от аппарата к аппарату для каскада проточных реакторов идеального смешения.

Рассмотрим обратимую экзотермическую реакцию вида А ↔ В, причем энергия активации прямой реакции Е₁ меньше энергия активации обратной реакции Е₂. В качестве критерия оптимальности для таких реакций обычно используется скорость химического превращения. Тогда целевая функция примет вид:

R = W = K₀₁ exp(–E₁/(RT)) C_A – K₀₂ exp(–E₂/(RT)) C_B (11.15)

В качестве управляющего параметра выбирается температура, поскольку концентрации C_A и C_B не относятся к входам рассматриваемой системы и зависят от условий протекания реакций. Но при разных значениях концентраций влияние температуры может быть различным. Поэтому данная задача решается в следующей постановке: оптимальная температура определяется при фиксированных значениях C_A и C_B, т.е. концентрации веществ выступают в качестве ограничений типа равенства. Для обратимой экзотермической реакции при Е₂>Е₁ с ростом температуры от Т_нач вначале более существенным будет возрастание скорости прямой реакции, т.к. обратная еще слишком медленна. При дальнейшем повышении температуры обратная реакция, имеющая большую энергию активации, начинает "нагонять" прямую. При данном составе существует температура Т_равн, при которой смесь находится в равновесии (W=0), затем ход реакции смещается влево. На интервале Т_нач – Т_равн имеется температура, при которой скорость реакции максимальна. Это и есть Т_опт. Продифференцировав (11.15) по T и приравняв производную нулю, получим:

dW/dT=d[K₀₁ exp(–E₁/(RT)) C_A–K₀₂ exp(–E₂/(RT)) C_B]/dT=0 (11.16)

Преобразовав (11.16) получим формулу для определения оптимальной температуры:

Т_опт = (Е₂–Е₁)/[R ln(K₀₂ E₂ C_B)/(K₀₁ E₁ C_A)] (11.17)

Из уравнения (11.17) следует, что чем выше C_A и чем меньше C_B, тем выше Т_опт; по мере роста степени превращения величина Т_опт уменьшается. При C_B → 0 по формуле (11.8) Т_опт→∞. Поэтому на начальном участке реактора следует устанавливать максимально допустимую температуру Т_макс, а с момента, когда найденная по уравнению (11.17) Т_опт сравнивается с Т_макс, изменение температуры должно определяться этим уравнением. Для того, чтобы определить оптимальный профиль температур в реакторе и найти отсюда максимальную скорость образования целевого продукта, нужно знать состав исходной смеси на входе в аппарат и зависимость скорости реакции от температуры. На основании этих данных можно вычислить скорость реакции как функцию температуры при различных фиксированных значениях степени превращения. Представив полученные результаты графически в координатах W = f(T), для каждого значения степени превращения определяется температура, при которой скорость реакции максимальна. На основании полученных данных строится график X = f(T), который и представляет собой оптимальный температурный режим. Для расчета скорости реакции можно пользоваться следующей формулой:

W = K₁ C_Аo (1 – X – X/K_С), (11.18)

где K₁ = K₀₁ exp(–E₁/(RT)) – константа скорости прямой реакции;

K_С = exp (E₂/T – F) – константа равновесия; F – коэффициент;

C_Аo – начальная концентрация компонента А, моль/м³;

Х – степень превращения.

Расчеты проводятся для 6–8 значений степени превращения в диапазоне Х=0,1–0,9. Число точек по температуре должно быть не менее 8–10. Начальная концентрация компонента C_Аo = 1.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определить оптимальное время пребывания и максимальную концентрацию целевого продукта В для двух последовательных реакций первого порядка А  B  D в реакторе идеального вытеснения, используя формулы (11.10) и (11.12).

2. Из уравнений материального баланса (11.14) получить выражения для определения оптимального времени пребывания и максимальной концентрации целевого продукта В и вычислить их значения для тех же реакций в реакторе идеального смешения. Сравнить показатели, достигаемые в РИС и РИВ.

3. Для обратимой экзотермической реакции А ↔ В при заданных значениях параметров рассчитать зависимость скорости реакции как функцию температуры при различных фиксированных значениях степени превращения, используя программу OTP.EXE. Из графика в координатах W=f(T) определить условия, при которой скорость реакции максимальна. На основании полученных данных построить оптимальный температурный режим в координатах X=f(T).

3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Исходные данные, необходимые для расчетов, приведены в таблице 11.1 (для п.11.1 и 11.2) и в таблице 11.2 (для п.1.3). Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента по журналу.

Таблица 11.1

№	Группа 1		Группа 2
	К1	К2	К1	К2
1	0,1	0,05	0,3	0,16
2	0,5	0,07	0,5	0,07
3	0,2	0,08	0,25	0,09
4	0,15	0,06	0,4	0,07
5	0,3	0,09	0,15	0,09
6	0,4	0,16	0,2	0,11
7	0,5	0,11	0,5	0,19
8	0,25	0,07	0,35	0,14
9	0,1	0,13	0,15	0,08
10	0,35	0,09	0,4	0,13
11	0,15	0,12	0,3	0,06
12	0,25	0,15	0,1	0,07
13	0,3	0,13	0,20	0,06
14	0,5	0,09	0,5	0,16
15	0,2	0,14	0,35	0,11
16	0,35	0,18	0,15	0,05
17	0,1	0,2	0,1	0,09
18	0,15	0,19	0,25	0,17
19	0,3	0,2	0,4	0,18
20	0,5	0,05	0,5	0,13
21	0,16	0,12	0,32	0,08
22	0,25	0,14	0,12	0,07
23	0,32	0,13	0,18	0,05
24	0,5	0,11	0,48	0,14
25	0,22	0,14	0,34	0,12

Таблица 11.2

№	K01  10^–7	E1  10^–4	E2  10^–3	F  10^–1	Температура, С
1	2	3	4	5	6
1	0,0078	3,30	9,50	1,91	150 – 280
2	2,9	3,80	8,00	2,20	25 – 95

Продолжение таблицы 11.2

1	2	3	4	5	6
3	0,06	3,38	8,40	1,87	100 – 220
4	0,015	2,64	9,35	1,91	160 – 260
5	3,2	4,66	9,09	2,233	35 – 175
6	0,007	3,42	10,15	1,66	250 – 350
7	0,0009	3,00	8,90	1,80	100 – 250
8	2,7	4,56	9,50	2,046	70 – 175
9	0,2	4,10	10,00	2,01	150 – 220
10	3,0	4,856	9,06	2,746	25 – 95
11	0,0064	2,83	9,60	1,78	150 – 300
12	0,9	3,64	7,65	1,92	70 – 140
13	3,5	4,36	9,40	2,246	70 – 175
14	0,003	3,05	10,95	1,72	250 – 400
15	2,9	3,80	6,70	1,90	25 – 95
16	0,05	2,80	8,60	1,90	95 – 205
17	0,21	3,75	10,40	2,45	90 – 180
18	0,017	2,94	8,35	1,81	100 – 200
19	0,24	3,38	10,10	1,93	130 – 230
20	0,035	3,62	9,10	1,91	60 – 130
21	0,0064	2,83	9,60	1,78	160 – 280
22	0,9	3,64	7,65	1,92	80 – 170
23	3,5	4,36	9,40	2,246	60 – 180
24	0,003	3,05	10,95	1,72	230 – 380
25	2,9	3,80	6,70	1,90	20 – 110

4. ОФОРМЛЕНИЕ ПРОТОКОЛА

В протоколе по лабораторной работе формулируется цель работы, приводятся результаты расчетов по определению оптимального времени пребывания и максимальной концентрации целевого продукта В для двух последовательных реакций первого порядка А→B→D в реакторах идеального вытеснения и идеального смешения и их сравнение, описываются расчеты по определению максимальных значений скорости химического превращения, приводятся графики зависимостей W=f(T) и X=f(T).

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Классификация методов решения задач оптимизации.

2. Критерий оптимальности. Целевая функция. Требования, предъявляемые к критерию оптимальности.

3. Виды критериев оптимальности.

4. Условия существования экстремума функции.

5. Основные особенности моделей РИВ и РИС.

6. Определение оптимального времени пребывания в РИВ.

7. Определение оптимального времени пребывания в РИС.

8. Оптимальный температурный режим для обратимой экзотермической реакции.

9. Условия выбора управляющих параметров.