- •Руководство к решению задач по алгебре
- •Часть II Жорданова форма матрицы и жорданов базис
- •§1. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •Рассмотрим линейный оператор в пространстве и пусть – матрица этого оператора в некотором базисе .
- •1.2. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения
- •Жорданова форма матрицы и жорданов базис
- •Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки
- •Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка
- •1.5. Функции от матриц
- •§ 2. Жорданова форма матрицы
- •Оператор простой структуры
§ 2. Жорданова форма матрицы
Оператор простой структуры
В данном параграфе предлагается способ нахождения жордановой формы матрицы, основанный на изучении геометрических характеристик линейного оператора.
Дадим ряд определений.
Определение 1. Линейный оператор в пространстве называется оператором простой структуры, если он имеет линейно независимых собственных векторов.
Теорема. Оператор простой структуры однозначно определен, если заданы его линейно независимых собственных векторов и соответствующие им собственные значения.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Выберем в качестве базиса в пространстве собственные векторы оператора . Тогда получим
,
,
……….
.
Это означает, что матрица оператора (которую мы обозначим через ) имеет вид
.
Следовательно, оператор однозначно определен, а его матрица относительно базиса из собственных векторов является диагональной. Отметим, что среди чисел могут быть одинаковые. Обозначим через матрицу оператора в базисе из векторов . Тогда