2. Жорданов базис в частном случае

Рассмотрим частный случай, когда оператор имеет единственное cоб-

ственное значение и не имеет простой структуры. В этом случае матрица имеет ранг , а значит, в пространстве имеется линейно независимых собственных векторов оператора , соответствующих числу . Рассмотрим подпространство . Имеем . Значит, в найдется хотя бы один собственный вектор оператора . Поэтому размерность подпространства

будет меньше размерности подпространства .

Это очевидно, так как в подпространствах оператор всегда имеет собственное значение , которому соответствуют собственные векторы, поэтому под действием оператора эти собственные векторы обнуляются и, следовательно, размерности подпространств уменьшаются с увеличением .

Если – ненулевое подпространство, то в нем найдется хотя бы один собственный вектор оператора . В этом случае построим подпространство . Очевидно, что его размерность меньше размерности . Продолжая этот процесс далее, мы получим ненулевое подпространство , такое, что . Это означает, что подпространство содержит только собственные векторы оператора , а значит, оператор в имеет простую структуру.

Выберем в базис. Этот базис мы можем дополнить до базиса в , затем базис в можем дополнить до базиса в и т.д. В итоге получим базис всего пространства .

Перейдем к его построению.

Пусть , и векторы образуют базис пространства , а подпространство содержит ( ) линейно независимых собственных векторов оператора . Тогда векторы , где

, ,

образуют базис и . Аналогично векторы

,

где

, ,

( ( ) – число линейно независимых собственных векторов операто-

ра , содержащихся в подпространстве ) образуют базис в , размерность которого равна . Продолжая рассуждения, получим базис пространства . Этот базис называется жордановым базисом.

2.3.1. Жорданова цепочка векторов

Рассмотрим векторы из . Они являются образами векторов подпространства , которые в свою очередь являются образами векторов из и т.д. Совокупность векторов при фиксированном назовем жордановой цепочкой векторов длины . Таким образом, мы получили жордановых цепочек, каждая из которых состоит из векторов. Рассмотрим теперь векторы из , каждому из этих векторов также соответствует цепочка из векторов . Мы, таким образом, получили дополнительно жордановых цепочек длины .

Рассуждая аналогичным образом, получим далее жордановых цепочек длины , цепочек длины и т.д. Наконец, получим цепочек длины 1, то есть цепочек, состоящих из одного собственного вектора оператора . Здесь – число линейно независимых собственных векторов оператора , содержащихся в пространстве , размерность которого равна

.

Таким образом, общее число жордановых цепочек равно

,

то есть числу линейно независимых собственных векторов оператора , и их суммарная длина равна

,

то есть размерности пространства .

Отметим еще раз соотношения между векторами одной жордановой цепочки:

…………..

или

…………..

.

Если векторы цепочки включить в базис, то этой цепочке в матрице будет соответствовать клетка из строчек и столбцов ( – длина жордановой цепочки) вида

.

Поэтому в построенном жордановом базисе матрица оператора будет иметь вид

,

где –

матрица, называемая жордановой клеткой порядка , – число жордановых цепочек, а .

Матрица называется жордановой матрицей.