1.1.3. Многочлен от матрицы

Определение 14. Пусть дан многочлен и пусть – квадратная матрица, тогда значением многочлена от матрицы называется матрица , где – единичная матрица, – матрица, получающаяся при умножении матрицы на себя раз.

№ 827 (П). Найти значение многочлена от матрицы

.

Р е ш е н и е.

Найдем .

;

.

Ответ: .

2. Обратная матрица

Определение 15. Матрица называется обратной к квадратной матрице , если .

Определение 16. Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу . В противном случае – вырожденная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица порядка является невырож-денной в том и только том случае, если определитель этой матрицы отличен от нуля.

Для отыскания обратной матрицы существуют два способа.

1. Припишем к матрице справа единичную матрицу и, применяя метод Гаусса (см. §5), преобразуем расширенную матрицу так, чтобы слева стояла единичная матрица, тогда справа будет находиться обратная матрица :

.

.

Обоснование этого способа состоит в следующем.

Пусть нам дана невырожденная квадратная матрица. Задачу нахождения обратной матрицы можно рассматривать как задачу решения матричного уравнения , которое эквивалентно системе уравнений с неизвестными.

Эта система является объединением систем уравнений, каждая из которых содержит неизвестных. Умножая поочередно строки матрицы на 1-й столбец матрицы и приравнивая к 1-му столбцу матрицы , получим систему уравнений, матричная форма записи которой имеет вид

(1.2.1)

С помощью элементарных операций над строками матрицы систему уравнений можно привести к виду

Умножая поочередно строки матрицы на второй столбец матрицы и приравняв ко второму столбцу матрицы , получим систему уравнений

. (1.2.2)

С помощью тех же элементарных операций, что применялись для решения системы (1.2.1), мы приведем систему (1.2.2) к виду

и т.д.

Поэтому для нахождения обратной матрицы и был предложен описанный выше способ.

2. , где – алгебраические дополнения к элементу , – определитель матрицы (см. §2).

№ 840 (П). Найти обратную матрицу для матрицы .

Р е ш е н и е.

I способ.

.

Ответ: .

II способ.

;

; ; ; ;

; ;

; ; .

Таким образом, .

Ответ: .

№ 861 (П). Решить матричное уравнение .

Р е ш е н и е.

1 вариант.

Пусть , тогда

.

.

Ответ: .

2 вариант.

Очевидно, что . Найдем матрицу, обратную к матрице .

I способ:

.

II способ:

.

Таким образом,

.

Ответ: .