Рассмотрим теперь систему
.
Выпишем матрицу этой системы и проделаем все действия, описанные в предыдущем пункте (обнулим столбцы, стоящие под и над главной диагональю). Для простоты рассмотрим случай, когда , базисный минор стоит в верхнем левом углу:
.
Определение 7. Неизвестные называются основными (главными), а неизвестные – свободными. Основные неизвестные выражаются через свободные следующим образом:
.
Полученную систему называют общим решением линейной системы уравнений. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения.
Частное решение получается при подстановке в общее решение произвольных значений свободных неизвестных.
Определение 8. Набор решений системы называется линейно независимым, если ранг матрицы, столбцами которой являются эти решения, совпадает с числом этих решений.
Утверждение. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений.
Определение 9. Любая система из линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений.
Определение 10. Фундаментальная система решений (ФСР) линейной однородной системы уравнений – это базис в пространстве решений линейной однородной системы.
Замечание. Определения 9 и 10 эквивалентны.
Любая однородная система линейных уравнений совместна, так как она имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.
Замечания.
1. Число базисных решений равно числу свободных неизвестных и равно .
На практике в качестве ФСР удобно брать общее решение, в котором единичка “пробегает” все свободные неизвестные (то есть сначала , , затем , , и т.д.):
.
Если числа дробные, в первую строку вместо единицы записывается число , во вторую – , в -тую – .
Иногда бывает удобно менять местами столбцы матрицы. При этом нельзя забывать о том, что порядок неизвестных меняется соответственно.
№ 689 (П). Найти общее и частное решения системы уравнений:
.
Р е ш е н и е.
.
Здесь – основные неизвестные, – свободные неизвестные.
Ответ: – общее решение;
– частное решение.
№ 725 (П). Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений:
.
Р е ш е н и е.
– общее решение.
Для нахождения ФСР составим таблицу .
Векторы , образуют ФСР.
Ответ: – общее решение;
, – ФСР.
№ 691 (П). Исследовать совместность системы
,
пользуясь критерием совместности. Если система совместна, найти общее и одно частное решения системы.
Р е ш е н и е.
– общее решение, – свободные неизвестные.
Найдем частное решение системы. Возьмем , , тогда и мы получили частное решение системы .
Ответ: –- общее решение,
– частное решение системы.
Замечание. Очень часто студенты ранг матрицы и ранг расширенной матрицы считают отдельно, что нерационально, например:
№ 692 (П). Исследовать совместность системы , пользуясь критерием совместности.
Р е ш е н и е.
.
.
Ответ: система несовместна.
Очевидно, что ранг матрицы можно найти, выписав лишь матрицу , так как матрица получается из матрицы добавлением справа столбца свободных членов.