- •Методические указания
- •Методические указания
- •Теоретические вопросы
- •Задание №1
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание №2
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание № 6 Пример 8. Найти ранг матрицы .
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание №7
- •Задание № 10
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание № 11
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание № 12
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Список литературы
Теоретические вопросы
Матрицы. Различные виды матриц.
Определители. Основные свойства определителей.
Миноры. Алгебраические дополнения.
Разложение определителей по строке или столбцу.
Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов столбца или строки.
Действия над матрицами:
сложение матриц;
умножение матрицы на число;
произведение матриц.
транспонирование матриц.
Равенство матриц.
Обратная матрица.
Ранг матрицы. Свойства, вычисление. Метод окаймляющих миноров.
Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Система линейных уравнений. Матрицы системы. Матричная форма записи системы.
Исследование систем линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли.
Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Метод Жордана – Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Однородная система линейных уравнений. Совместность системы. Фундаментальная система решений. Общее решение.
Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Задание №1
Пример 1. Найти 4А + 2В, если , .
Решение.
.
Пример 2. Определить АВ, если , .
Решение.
Примеры для самостоятельной работы
Составить матрицы А=(аij), В=(вij) и вычислить:
2А +3В, где А и В матрицы размера 4х6;
матрицу С, если 4С – 3В = 2А;
А2, А3, А4, если А2х2;
произведение матриц:
а) А1х4∙В4х2; б) А1х3∙В3х3; в) А3х5∙В5х1; г) А3х3∙В3х6.
Задание №2
Пример 3. Вычислить определитель .
Решение. Вычислим определитель, используя правило треугольника
Пример 4. Вычислить определитель .
Решение. Разложим определитель по элементам второй строки:
Пример 5. Вычислить определитель .
Решение. Обозначим данный определитель через . Общий множитель элементов первого столбца (2) вынесем за знак определителя, затем элементы второго столбца прибавим к элементам третьего столбца, наконец, элементы третьей строки, умноженные на (-3), прибавим к элементам четвертой строки.
.
Разложим определитель по элементам третьего столбца:
.
Преобразуем полученный определитель. Вторую строку, умноженную на (-2), прибавим к первой строке.
.
Разложим определитель по элементам первого столбца:
.
Примеры для самостоятельной работы
а) Вычислить определители третьего порядка:
1. 2. 3.
4. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
26. 27.
28. 29. 30.
б) Вычислить определители четвертого порядка:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
Задание №4
Пример 6. Пользуясь правилом умножения матриц, представить в виде определителя произведение определителей .
Решение.
Примеры для самостоятельной работы
Пользуясь правилом умножения матриц, представить в виде определителя произведение определителей:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
Задание №5
Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение. Вычислим определитель матрицы
.
Определитель detА0, следовательно, матрица А имеет обратную.
Составим транспонированную матрицу АТ для матрицы А:
.
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы АТ:
Тогда матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы АТ, запишется в виде: .
Запишем обратную матрицу:
.
Покажем, что АА-1=Е.
Действительно,
.