- •Случайные величины
- •Распределения и числовые характеристики одной случайной величины
- •Общие понятия.
- •Распределения дискретной случайной величины (дсв).
- •Распределения непрерывной случайной величины (нсв)
- •Числовые характеристики случайной величины
- •2.1.5. Свойства математического ожидания и дисперсии
- •2.1.6. Нормальное распределение
- •2.1.7. Другие виды распределений
- •2.1.8. Неравенство Чебышева
- •2.2. Модифицированные формулы полной вероятности и Байеса
- •2.2.1. Непрерывная случайная величина при простых гипотезах.
- •2.2.2. События при сложных гипотезах
- •2.2.3. Непрерывная случайная величина при сложных гипотезах
- •2.3. Функция случайной величины и ее характеристики.
- •2.3.1. Функция дискретной случайной величины
- •2.3.2. Функция непрерывной случайной величины
- •2.3.3. Линейная функция
2.2.3. Непрерывная случайная величина при сложных гипотезах
Пусть вместо вероятностей гипотез А1, А2,…, Аn имеется плотность распределения . Пусть имеется также НСВ Y, которая характеризуется условной плотностью распределения , являющейся функцией от x. Тогда полная и апостериорная плотности вероятности имеют вид:
Пример. y – параметр изделия; двухпараметрическая плотность распределения СВ Y в пределах одной партии изделий с математическим ожиданием x и постоянной дисперсией, не меняющейся от партии к партии; плотность распределения на совокупности партий продукции; – плотность распределения средних значений x параметра y среди партий, из которых извлекли по одному изделию, имеющему одно и то же значение y.
2.3. Функция случайной величины и ее характеристики.
2.3.1. Функция дискретной случайной величины
Пусть известны все возможные значения случайной величины Х и вероятности . Пусть известна также функция . Если между значениями и имеется взаимнооднозначное соответствие, то вероятности . В случае, если нескольким значениям соответствует одно и то же значение , то вероятность определяется как сумма соответствующих вероятностей . Числовые характеристики можно вычислять, не находя , по формулам:
МY= ;
Пример. Известны распределение числа дефектных изделий Х в выборке из партии продукции и зависимость прибыли Y поставщика продукции от Х:
xi |
0 |
1 |
2 |
|
xi |
0 |
1 |
2 |
|
0,8 |
0,19 |
0,01 |
|
yi |
5 |
-3 |
-3 |
Тогда распределение P(y) определяется таблицей
yj |
5 |
-3 |
|
0,8 |
0,2 |
2.3.2. Функция непрерывной случайной величины
Пусть известна функция распределения F(x) или плотность распределения f(x) и функция , являющаяся строго монотонной. Тогда можно выразить обратную зависимость, которую обозначим
Функция и плотность распределения для монотонно возрастающей , учитывая, что Ф(y)≡P(Y<y)=P(X< ), φ(y)= , имеют вид:
,
а для монотонно убывающей , учитывая, что Ф(y)≡P(Y<y)=1-P(X< ):
Числовые характеристики можно вычислять, не находя φ(y), по формулам:
МY= ;
Пример. Пусть если х>0 и f(x)=0, если x≤0, . Тогда ;
,
т.е. если X распределена по логарифмически нормальному закону, то по нормальному.
2.3.3. Линейная функция
Пусть функция случайной величины: .
Тогда вид закона распределения случайной величины Y будет таким же, как и для Х, а математическое ожидание MY и дисперсию DY можно вычислять, не определяя , по формулам:
.