Вопрос 2. Уравнение неразрывности потока.

Рассмотрим зависимость между скоростями в потоке жидкости при условии неразрывности движения*.

Для этого выделим внутри потока элементарный параллелепи­пед, объем которого dV= dxdydz (рис.6). Составляющую скорос­ти вдоль оси х обозначим v_х. Тогда через левую грань параллеле­пипеда площадью dydz в него войдет за бесконечно малый проме­жуток времени масса жидкости, равная

М_х = ρv_xdydzdτ,

где р — плотность жидкости.

Примем допущение, что жидкость несжимаема. Тогда плот­ность жидкости ρ в потоке постоянна.

* Условие неразрывности соблюдается, когда в потоке жидкости не образуют­ся пустоты, не заполненные жидкостью.

Рис. 4.6. К выводу уравнения неразрывности потока жидкости

Равномерное движение наблюдается, когда скорость, давление, глубина и форма потока не меняются по его длине. Примером равномерного движения является движение жидкости в трубопро­воде постоянного сечения с постоянной скоростью.

Неравномерное движение происходит, например, в коничес­кой трубе, когда скорость, давление и глубина потока изменяются по длине трубы.

Если рассмотреть поперечное сечение потока жидкости и мыс­ленно представить его состоящим из отдельных элементарных струек, то окажется, что частицы жидкости, которые находятся в струйках, расположенных на различном расстоянии от оси пото­ка, движутся с различными скоростями.

Скорость движения жидкости будет максимальной по оси по­тока и минимальной в струйках у стенки трубы. Распределение скоростей в потоке зависит от режима движения жидкости.

В технике оперируют не локальными скоростями частиц жид­кости, а средней скоростью потока.

Эта скорость представляет собой отношение секундного объем­ного расхода V_ceк к площади поперечного сечения потока F:

v = V_ceк / F, (4.1.)

откуда V_ceк =vF, а массовый расход, кг/с,

G = ρvF,

где ρ — плотность жидкости, кг/м³.

При движении жидкости через поперечное сечение, отличное от круглого, в качестве расчетного линейного размера принимают гидравлический радиус или эквивалентный диаметр.

Гидравлический радиус вычисляют как отношение площади свободного сечения трубопровода или канала к смоченному пери­метру

r= F / П, (4.2)

где F — площадь сечения потока, м².

Рис.4.7. К выводу уравнения неразрывности потока для всего объема жидкости

Вопрос 3. Дифференциальные уравнения движения эйлера и бернулли.

Уравнения движения Эйлера устанавливают связь между давлением и скоростью движения жидкости в любой точке потока.

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Вы­делим в потоке элементарный параллелепипед жидкости объемом dV= dxdydz (см. рис.4.7). На элементарный объем жидкости дей­ствуют сила тяжести, инерционная сила и сила гидростатического давления.

Согласно основному принципу динамики сумма проекций всех сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Если скорость элементарного объема жидкости v, то ускорение равно dv/dτ, а проекции ускорения на оси координат — соответ­ственно

dv_х/dτ, dv_y/dτ, dv_z/dτ,

где v_x, v_y, v_z — составляющие скорости вдоль осей х, у и z.

Так как мы рассматриваем установившийся поток, то дv_x/дτ = 0, дv_y/дτ=0, дv_z/дτ=0. Производные дv_x/дτ, дv_y/дτ, дv_z/дτ соответ­ствуют изменению во времени значений скоростей v_x, v_y и v_z при перемещении элементарного параллелепипеда жидкости из одной точки пространства в другую.

В соответствии с основным принципом динамики в результате преобразований получено Эйлером

После преобразований из системы уравнений (4.6) получим

Система уравнений Эйлера (4.7) является системой дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости для установившегося потока.

Из дифференциальных уравнений Эйлера получают уравнения Бернулли, широко используемые в гидродинамике.

сти. Единицы измерения динамического напора, как и остальных членов уравнения Бернулли, 1 м или 1 Н • м/Н.

Таким образом, из уравнений (4.8) и (4.9) следует, что при ус­тановившемся движении идеальной жидкости гидродинамический напор остается постоянным для любого сечения потока. Учитывая энергетический смысл каждого члена уравнения Бернулли, можно утверждать, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной

(z + p/ρg) и кинетической (v²/2g) энергии жидкости — величина постоянная для любого поперечного сече­ния потока.

При изменении поперечного сечения потока потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот. Уравнение Бер­нулли выражает частный случай закона сохранения энергии и яв­ляется уравнением энергетического баланса потока идеальной жидкости.

Рис.4.8. Схема трубопровода

Для реальных (вязких) жидкостей уравнение Бернулли имеет вид: