Лабораторная работа №6.

Исследование электрического поля в проводящем листе методом факторного эксперимента.

Цель исследования

Изучение стационарного электрического поля в проводнике методом факторного эксперимента

Объект исследования

Изучается стационарное электрическое поле тока в проводящем листе, имеющем частичный разрез I, с.105-140 или круговой вырез в центральной части листа I, с.184-185, 207-211 .На листе имеется квадратная сетка. Подвод тока к листу осуществляется равномерно распаянными проводниками, подключенными к источнику питания, это обеспечивает постоянство потенциала на линии подвода тока. Измерения напряжения производится ламповым вольтметром.

Задача исследования

1. Получение картины распределения потенциала φ (х,y) в листе с вырезом расчетным путем (по решению уравнения Лапласа) I, с.105-140, 184-185, 207-211 .

2. Получение распределения потенциала φ (х,у) в листе с вырезом опытным путем (снятие линий равного потенциала с помощью вольтметра).

3. Получение распределения потенциала в листе с вырезом по уравнению φ (х,у) , полученному по результатам факторного эксперимента 2, с.5-19,23-29,52-63 .

Методические указания к выполнению задачи исследования

1. Изучить теорию расчета квазистационарного неоднородного электрического поля с током в проводящем листе с заданной граничной линией в центре (частичный разрез, круговой вырез и т.д.).

2.При снятии опытным путем распределения потенциала в листе с током следует отсчитывать потенциал любой точки относительно одной граничной линии подвода тока. Для получения семейства эквипотенциальных линий рекомендуется снять n=7...9 линий в области «электрод-центр», учитывая, что поля симметричны относительно центральной оси (или осей).

Разность потенциалов между соседними эквипотенциальными линиями при этом равна

Δφ=

где - разность потенциалов между электродами и центром поля; n-1 – число интервалов между эквипотенциалями.

На каждой эквопотенциали получают 5-7 точек. Координаты точек с равными потенциалами φ_i (i=0,1,2,...9)- переносят на миллиметровую бумагу и строят эквипотенциальные линии.

3.Методом факторного эксперимента 2,1-1,1-2,1-3,1-4 исследуется поле в некоторой ограниченной области. Здесь реализуется полный факторный эксперимент (ПФЭ: 2² ) 2,1-5.

По результатам ПФЭ: 2² (таблица 1) находят коэффициенты линейного или слабонелинейного уравнения:

φ=а₀+а₁Х+а₂Y - линейное уравнение, (1)

φ = а₀+а₁Х+а₂Y+а₁₂ХY – слабонелинейное уравнение, (2)

где Х,Y- нормированные координаты, принимающие значения

(-1..+1) 2, 1-5, с.15 .

ТАБЛИЦА1

Номер опыта j	Фактор X Y		Опытные Данные φj1 φj2		Среднее значение j	Расчетное значение j
1	1	1	φ11	φ12	1	φ1
2	-1	1	φ21	φ22	2	φ2
3	1	-1	φ31	φ32	3	φ3
4	-1	-1	φ41	φ42	4	φ4

Коэффициенты уравнений (1), (2) находят по экспериментальным данным 2, 1-5, с.18 .

Затем проводится статистический анализ значений коэффициентов и проверяется адекватность уравнений (1), (2) 2, 1-7 .

В случае неадекватности уравнений (1), (2) выполняют трехуровневый полный факторный эксперимент (ПФЭ: 3² ) 2, 3-3, 3-4 , показанный в таблице 2.

ТАБЛИЦА2

Номер опыта j	Фактор		Опытные данные выходной функции		Среднее значение j	Расчетное Значение φj
	X	Y	φj1	φj2
1	1	1	φ11	φ12	1	φ1
2	-1	1	.	.	.	.
3	1	-1	.	.	.	.
4	-1	-1	.	.	.	.
5	0	1	φ51	φ52	5	φ5
6	0	-1	.	.	.	.
7	1	0	.	.	.	.
8	-1	0	.	.	.	.
9	0	0	φ91	φ92	9	Φ9

По результатам эксперимента φ_j (табл.2) получают коэффициенты уравнения (3)

а₀ , а_i , а_ik ,а_ii

_i=1,2

φ= а₀ + а₁Х + а₂Y + а₁₂ХY + а₁₁Z₁ + a₂₂ Z₂ + a₁₂₂XZ₂ + a₂₁₁YZ₁ . (3)

В этом уравнении Z₁ и Z₂ (4) нормированные переменные, служащие для получения коэффициентов а₁₁ ,а₂₂ ,а₁₂₂ ,а₂₁₁ для эффектов второго и третьего порядков:

Z₁=3X²-2 ; Z₂=3Y²-2 (4)

Если уравнение (3) адекватно, то его применяют для построения линий равного потенциала и получения значения вектора напряженности поля Ē в любой точке поля

Ē=-qrad φ = - - = E_x + jE_y (5)

Указания

1.Методом факторного эксперимента предлагается исследовать сначала поле вдали от выреза – в области малой неоднородности поля. Для этой области получают линейную математическую модель (1).

2. Затем ищут область оптимума функции φ путем перемещения координат центра плана [х^ ,у^] в направлении градиента φ (“движение по градиенту”) [3].

Координаты нового центра плана [х^,у^] находят так:

х^=х^+n_х ∆х ;

у^=у^+n_у ∆у ; (6)

где ∆х -шаг изменения фактора х ;

∆у - шаг изменения фактора у ;

n_х , n_у – числа шагов факторов х ,у

Задаваясь произвольно числом шагов n_х (5 ...10) , получают n_у из соотношения

n_у = n_x (7)

Итак, после определения координат нового центра [х^, у^] проводят эксперимент по нелинейному плану, например 3² (табл.2), так как вблизи оптимума увеличивается кривизна поверхности φ (х, у). При адекватности нелинейной модели, например (3), ее используют для отыскания координат оптимальной точки. Для этого находят первые производные функции

φ (х,у), описываемой уравнением (3), и приравнивают их к нулю:

=0 ; =0 (8)

Из условий (8) находят координаты оптимальной точки

[х_опт,у_опт].

Опытным путем убеждаются в правильности полученных координат экстремальной точки.

Требования к отчету

Отчет должен состоять из разделов:

1. Цель исследования

2. Задача исследования

3. Краткое описание установки. Рисунок исследуемой области поля.

4. Перечень и параметры используемых электроизмерительных приборов

5. Схемы и данные экспериментов, результаты расчетов. Таблицы, расчетные формулы, уравнения должны быть сгруппированы в соответствии с задачами исследования

Указание 1.

На рисунке поля (рис.1) показать значения потенциалов в узлах квадратной сетки модели и линии равного потенциала, найденные

а) аналитически;

б) опытным путем с помощью вольтметра.

Указание 2.

Факторные планы 2² и 3² и их опытные данные представить в виде таблиц. Под таблицами дать расчетные формулы коэффициентов уравнений и данные статистического анализа коэффициентов и уравнений.

Указание 3.

По полученным уравнениям (х, у) найти значения потенциалов в узлах сетки в области, ограниченной факторным планом. Указать эти значения на рисунке (рис.2).

По тем же уравнениям построить линии равного потенциала.

Сравнить с данными, полученными в начале (указание 1).

Найти точку с максимальным значением потенциала. Показать ее на рисунке 2.

Контрольные вопросы

1. Что такое факторный эксперимент?

2. Какие планы эксперимента Вы знаете?

3. Какой план называется полным факторным экспериментом (ПФЭ)?

4. Покажите ПФЭ 2² , 3² , 4² .

5. Какие уравнения получают по результатам ПФЭ 2² , 2³ ?

6. Какое уравнение получают по результатам ПФЭ 3² ?

7. Напишите формулы коэффициентов линейного уравнения, получаемого по данным ПФЭ 2³ .

8. В чем заключается статистический анализ уравнения, полученного по данным факторного эксперимента ?

9. Напишите формулы коэффициентов нелинейного уравнения, получаемого по данным ПФЭ 3² .

10. В чем состоит метод “движения по градиенту” для нахождения экстремума функций?

Литература.

1. Теоретические основы электротехники./Под ред. П.А.Ионкина. В 2-х т. М.: Высшая школа, 1976. Т.2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля, с.105-140, 184-185, 207-211.

2. Учебное пособие по курсу «Математическая теория эксперимента» на тему «Факторный эксперимент»./Под ред. Н.К.Круг. Ижевск, изд. ИМИ, 1982,

с.5-19, 23-29, 52-63.

3. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов.-М.:Наука,1966.

59