4.2.2. Математическое описание некоторых неподвижных источников теплоты

Мгновенный точечный источник, вводимый в точке с координатами (0,0,0) при :

.

Мгновенный точечный источник, вводимый в точке с координатами (a,b,c) при t=0:

Непрерывно действующий точечный источник, вводимый в точке с координатами (0,0,0) и непрерывно действующий в течение определенного отрезка времени t:

,

где  единичная функция, равная

.

Непрерывно действующий линейный источник, линейный источник длиной 2h₁ по оси, введенный в начале координат и действующий в течение определенного отрезка времени вдоль свариваемого стыка:

,

где  единичная функция, равная

.

5. Построение тепловых математических моделей с использованием метода функций Грина

5.1. Общее описание метода функций Грина

Применительно к теории теплопроводности можно определить функцию Грина как температуру в точке (x,y,z) в момент времени t, обусловленную действием мгновенного точечного источника единичной мощности, помещенного в точку P(x,y,z) в момент времени . Функцию Грина еще называют функцией влияния или функцией источника. Функция Грина позволяет решать краевые задачи как для бесконечных, так и для конечных тел. Решение краевой задачи теплопроводности методом функций Грина состоит в том, что предварительно находят специальное решение задачи того же типа (функцию Грина и через него дается интегральное представление решения исходной задачи. При этом для определения функции Грина чаще всего применяют мгновенный точечный источник.

Для большинства интересующих нас случаев функции Грина уже найдены. Рассмотрим метод решения дифференциальных уравнений с помощью функций Грина в стандартной форме. Применительно к уравнению теплопроводности решение имеет вид:

,

где  стандартизирующая функция задачи, зависящая от формы источника тепла, начальных и граничных условий. Если T(x,y,z,t)=0 и граничные условия I и II рода=0, то стандартизирующая функция равна функции источника.

5.2. Построение функций Грина

Известно, что функция Грина допускает неполное разделение переменных (она разделяется по пространственным переменным , но не разделяется по времени t), т. е. может быть представлена в виде произведения \

Здесь G₁, G₂ и G₃ – вспомогательные функции Грина, полученные при решении более простых одномерных задач с однородными граничными условиями.

Таблица 1 - Функции Грина при различных краевых условиях для одномерных

Нестационарных тепловых процессов

№ п/п	Геометрические, краевые условия	Функции Грина
1	, Бесконечный стержень
2	, , Полубесконечный стержень
3	, , , Полубесконечный стержень
4	, , Ограниченный стержень
5	, , , , Ограниченный стержень
6	, , , , Ограниченный стержень
7	, , , , Ограниченный стержень

Таким образом, с помощью представленных в таблице 1 функций Грина для одномерных задач можно достаточно просто построить функции Грина для трехмерных задач с различными начальными и граничными условиями. Во втором столбце таблицы приведены стандартизирующие функции в зависимости от начальных условий.