- •1. Аксиоматика 3
- •2. Множества 4
- •3. Аналитическая геометрия 14
- •4. Векторная алгебра 25
- •5. Матрицы и определители 30
- •Аксиоматика
- •Аксиоматический метод построения математики
- •Математический язык
- •Множества
- •Понятие множества
- •Пустое множество
- •Числовые множества
- •Подмножества
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Вычитание множеств
- •Аналитическая геометрия
- •Система координат на плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками на плоскости
- •Уравнение линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и
- •Полярные координаты
- •Угол между прямыми
- •Уравнение окружности
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
- •Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение параболы
- •У равнение сферы
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора
- •Коллинеарные векторы
- •Операции над векторами
- •Угол между векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Координаты вектора
- •Разложение векторов
- •Действия над векторами, заданным координатами в пространстве
- •Матрицы и определители
- •Матрицы
- •Определители
- •Определители третьего порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения матрицы
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Формулы Крамера
- •Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Функции
- •Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Обзор элементарных функций и их графиков
- •Пределы
- •Предел последовательности
- •Предел функции
- •Непрерывность функции
- •Производная
- •Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Применение производной для исследования функции
- •Неопределенный интеграл
- •Способы интегрирования
- •О пределенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия:
- •Признаки сходимости ряда:
- •Ряды по степени разности
- •Теория вероятностей
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрические вероятности
- •Алгебра событий
- •Теорема сложения вероятностей двух несовместимых событий
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей совместимых событий
- •Формула полной вероятности
- •Теорема умножения вероятностей независимых событий:
- •Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретных случайных величин
- •Функция распределения случайной величины
- •Нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания (мо) дискретной случайной величины:
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратичное отклонение (стандартное)
- •Системы двух случайных величин и их числовые характеристики
- •Литература
Неопределенный интеграл
Определение 1: операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием.
Если есть функция заданная для тех же значений, что и выполняется условие, что , то – первообразная функция.
Определение 2: выражение , где первообразная функции и – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции : , где – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования, – знак интеграла.
, если .
Таблица основных интегралов
Способы интегрирования
Непосредственное интегрирование:
Замена переменной интегрирования. Интегрирование путем ведения новой переменной (метод подстановки основан на формуле , где – функция переменной .
Интегрирование по частям. Если , – дифференцируемые функции от , то из формулы дифференциала произведения двух функций получается формула интегрирования по частям:
В качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве – оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая , из которой можно определить путем интегрирования.
О пределенный интеграл
П усть на отрезке определена функция . Отрезок разобьем на частей точками . В каждом из отрезков произвольным образом выберем точку и составим сумму произведений
Эта сумма называется интегральной суммой функции в промежутке .
Определение: определенным интегралом от функции в промежутке называется предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длинна наибольшего из них стремится к 0.
– подынтегральное выражение; и – пределы интегрирования ( – нижний, – верхний), – интегральная сумма.
Свойства определенного интеграла
;
;
;
Формула Ньютона-Лейбница
Если – первообразная на , то
Пример:
Геометрический смысл определенного интеграла:
Определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией , снизу прямой , слева прямой и справа прямой .
Если фигура ограничена линиями и , , и , при условии, что то .
Комбинаторика
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Определение 1. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга их порядком, называются перестановками этих элементов.
(пэ из эн есть эн-факториал)
.
Принимается, что .
Определение 2. Размещениями из n различных элементов по m называют множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Обозначается (читается A из эн по эм).
.
Определение 3. Сочетаниями из n различных элементов по m, называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.
Записывается: (читается цэ из эн по эм),
Замечание: .
Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в сочетаниях не учитывается порядок элементов.
Правило сумм: если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а объект В – n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.
Правило произведения: если объект А может быть выбран из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект B может быть выбран n способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.