4.7. Центральная предельная теорема

Постановка задачи, решаемой центральной предельной теоремой, имеет длинную историю : от Муавра (1718 г.) и Лапласа (1812 г.) до Ляпунова (1901 г.) и Линдеберга (1922 г.). В трудах двух последних ученых найдены необходимые и достаточные условия сходимости закона распределения суммы независимых сл. величин к нормальному закону. Исследования по центральной предельной теореме продолжаются до сих пор.

Термин “центральная предельная теорема” в ТВ означает любое утверждение о том, что при выполнении определенных условий функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.

Основную роль в этих теоремах играет теорема о связи сходимости последовательности функций распределения со сходимостью последовательности соответствующих характеристических функций – теорема непрерывности.

Теорема 9 (теорема непрерывности). Последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения тогда и только тогда, когда последовательность их характеристических функций сходится к непрерывной предельной функции При этом есть характеристическая функция для и сходимость к равномерная в каждом конечном интервале.

Теорема 10 (центральная предельная теорема). Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин с и Тогда

, (4.6)

где Ф(x) – функция нормального стандартного распределения.

Доказательство. Функция – непрерывная, сходимость к ней последовательности функций распределения сл. величин является сходимостью по распределению сл. величин к сл. величине ξ. Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой 9. Обозначим через характеристическую функцию сл. величины , n=1, 2, … , а через –характеристическую функцию сл. величины Воспользуемся свойствами 6 и 7 характеристических функций:

По свойству 5 характеристических функций дифференцируема дважды, тогда функцию можно разложить в ряд Маклорена:

Но тогда:

Следовательно, при Но – характеристическая функция стандартного нормального распределения. Теорема доказана.

Пример 3. Рассмотрим в качестве – число наступлений некоторого события в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q=1–p. Тогда по теореме 10 для функций распределения F (x) нормированного отклонения от среднего числа наступления события – сл. величины имеет место соотношение .

Это сформулированная нами ранее теорема Муавра- Лапласа.

Теорема 11 (Линдеберга). Пусть – последовательность независимых сл. величин, для которых существуют Если для всякого выполняется условие:

(4.7)

где то справедливо утверждение

Доказательство. Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем полагать, что Положим Характеристическая функция сл. величины имеет вид где – характеристическая функция сл. величины Имеем

Значит,

Смысл условия Линдеберга (неравенства 4.7) состоит в следующем. Обозначим за событие

так как событие имеет место при и

Таким образом, можно сказать, что смысл условия Линдеберга заключается в равномерной по малости слагаемых , то есть среди нет таких, которые преимущественно определяли бы величину

Следствием теоремы 11 является теорема Ляпунова (она появилась раньше, чем теорема Линдеберга).

Теорема 12 (Ляпунова). Если – последовательность независимых сл. величин, для которых существуют и и при некотором справедливо равенство Если существует где то имеет место утверждение

Доказательство. Покажем, что для последовательности в условиях теоремы выполняются условия Линдеберга:

Следовательно, теорема Ляпунова справедлива, при этом условие Ляпунова для проверки легче, чем условие Линдеберга.

Следствие. Если – последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин с , то В этом случае

Исключительная важность центральной предельной теоремы объясняется тем, что она дает теоретическое обоснование следующему многократно подтвержденному практикой наблюдению: если исход сл. эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых в отдельности пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными математическим ожиданием и дисперсией.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Напишите 1-е и 2-е неравенства Чебышева.

2. Сформулируйте законы больших чисел.

3. Дайте определения всех известных Вам видов сходимости.

4. Сформулируйте усиленный закон больших чисел.

5. Сформулируйте все известные Вам центральные предельные теоремы.

6. Как вывести интегральную теорему Муавра – Лапласа из центральной предельной теоремы?

ЗАДАЧИ

181. Пусть – независимые одинаково распределенные сл. величины, Известно, что при . Найти .

182. Пусть сл. величина равна сумме очков, появившихся при n бросаниях игральной кости. Используя неравенство Чебышева, оценить сверху >0, где –число возможных значений .

183. Пусть – независимые одинаково распределенные по закону Пуассона с параметром λ сл. величины. Найти предел сходимости по вероятности при последовательности

184. Игральная кость бросается 1000 раз. Найти пределы, в которых с вероятностью, большей 0.95, будет лежать сумма выпавших очков.

185. Урожайность куста картофеля задается следующим распределением

Урожай в кг	0	1	1.5	2	2.5
Вероятность	0.1	0.2	0.2	0.3	0.2

На участке высажено 900 кустов. В каких пределах с вероятностью 0.95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов нужно посадить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.975, урожай был не менее тонны?

186. Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.4, 3 с вероятностью 0.3 и 2 с вероятностью 0.1. За время обучения он сдает 100 экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0.95 лежит средний балл.

ОТВЕТЫ