- •1Вывод уравнений математической физики и постановка краевых задач
- •1.1Уравнение малых поперечных колебаний струны
- •1.2Уравнение теплопроводности
- •1.3Постановка краевых задач
- •1.4Задачи
- •2Классификация линейных уравнений второго порядка и приведение их к каноническому виду
- •2.1Классификация уравнений
- •2.2Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к каноническому виду
- •2.3Приведение к простейшему виду
- •2.4Задачи
- •3Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными
- •3.1Задача Коши для волнового уравнения. Метод характеристик
- •3.1.1Решение задачи Коши на прямой
- •3.2.2Решение задач с неоднородным краевым условием
- •3.2.3Задачи
- •3.3Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
- •3.3.1Формула Пуассона
- •3.3.2Задачи
- •3.4Метод разделения переменных решения смешанных задач
- •3.4.1Сущность метода
- •3.4.2Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений гиперболического типа
- •3.4.3Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений параболического типа
- •3.4.4Решение неоднородных задач методом Фурье
- •3.4.5Метод Фурье решения краевых задач для уравнений эллиптического типа
- •3.4.6Задачи
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
3.4.3Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений параболического типа
Задача о распространении тепла в тонком однородном стержне , боковая поверхность которого и граница теплоизолированы, а на границе поддерживается нулевая температура, приводится к решению уравнения теплопроводности
(3.26)
при следующих граничных условиях
и начальном условии
Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения уравнения (3.26) в виде . Подставляя заданное представление в исходное уравнение, приходим к уравнению для
(3.27)
и задаче для :
Найдем собственные числа и собственные функции этой задачи. Рассмотрим отдельно случаи, когда коэффициент положителен, отрицателен и равен нулю.
При <0 общее решение примет вид , тогда из граничных условий .
При =0 общее решение примет вид , тогда из граничных условий .
При >0 общее решение примет вид , тогда из граничных условий
Найденным собственным числам соответствуют собственные функции
Значениям соответствуют следующие решения уравнения (3.27):
Тогда функции являются частными решениями уравнения (3.26) при любых постоянных . Следовательно, общее решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид
.
Из начальных условий находим откуда
3.4.4Решение неоднородных задач методом Фурье
Задача о нахождении смещений точек однородной струны 0<x<l, жестко закрепленной на концах, в результате ее вынужденных колебаний под действием внешней силы с плотностью g(x), приводится к решению уравнения (1.2)
при начальных условиях (3.2)
и граничных условиях (3.21) .
Решение этой задачи ищется в виде суммы u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), где v(x,t) – решение задачи I, состоящей из неоднородного уравнения (1.2), граничных условий (3.21) и нулевых начальных условий .
w(x,t) – решение задачи II, состоящей из однородного уравнения , граничных условий (3.21) и начальных условий (3.2).
Решение v(x,t) описывает вынужденные колебания струны (эти колебания совершаются под действием внешней возмущающей силы при отсутствии начальных возмущений), а решение w(x,t) описывает свободные колебания струны (они обусловлены начальными возмущениями).
Задача II решена ранее (см. п. 3.4.2).
Функцию v(x,t) будем искать в виде ряда
(3.28)
по собственным функциям задачи II. Подставляя (3.28) в (1.2), получим
Разлагая функцию в интервале в ряд Фурье по собственным функциям задачи II и приравнивая коэффициенты при одинаковых членах ряда, приходим к дифференциальным уравнениям
(3.29)
где . Решая уравнения (3.20) при нулевых начальных условиях , находим , а затем определяем с помощью формулы (3.28). Заметим, что решение для однородных начальных условий можно представить в виде
Тогда решение задачи (1.2), (3.2), (3.21) представляется в виде
где коэффициенты определяются формулами (3.25).
Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны под действием внешней силы в случае, когда концы струны двигаются по некоторому закону, сводится к решению уравнения (1.2) при начальных условиях (3.2) и граничных условиях вида
. (3.30)
Решение задачи (1.2), (3.2), (3.30) может быть представлено в виде u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), где функция w(x,t) подбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям. В случае, когда заданы условия первого рода (3.30), эту функцию можно построить следующим образом: .
Тогда функция v(x,t) будет удовлетворять уравнению
, где .
В этом нетрудно убедиться, подставив в уравнение (1.2) представление u(x,t) в виде суммы двух функций. При этом начальные условия для v(x,t) примут вид ,
а граничные – .
Таким образом, для нахождения v(x,t) приходим к задаче типа (1.2), (3.2), (3.21).