Ргр №4 Тема: «Кривые 2-го порядка и уравнения прямых и плоскостей»

Задание 1. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы,

Из уравнения окружности -центр.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Для приведения к нему поделим всё уравнение на правую часть и получим:

Сравнивая с общим видом канонического уравнения, получим:

Зная a и b найдём координаты вершин гиперболы и параметры основного прямоугольника (см. чертёж):

Для нахождения фокуса гиперболы воспользуемся формулой

Подставим значения a и b , и получим координаты фокусов гиперболы.

Получим две точки фокуса.

Необходимо составить уравнение прямой, проходящей через и центр окружности . Для решения воспользуемся формулой, где ( )и ( ) координаты точек и S.

Преобразуем уравнение и упростим для приведения его к виду уравнения с угловым коэффициентом:

Ргр №5 Тема: «Непрерывность функций»

Задание 1.Выяснить характер точек разрыва функции или доказать её непрерывность.

а)

Н

при

точка разрыва II рода, т.к. есть точка бесконечного разрыва;

айдём предел при и слева и справа.Т.е предел стремиться левый предел правый

⇒

Найдём предел при слева и справа. Т.е предел стремиться ; левый предел , правый

при - скачок, точка разрыва I рода, т.к. согласно формуле

б)

Найдем точки возможного разрыва, для этого приравняем знаменатель к нулю и решим квадратное уравнение:

Задание 2.Построить график функции и исследовать характер точек разрыва.

Найдём предел при слева и справа.

Точка разрыва I рода, скачок.

y

-1

1

x

Задание 3. Подобрать α, чтобы функция была непрерывной.

Доказать непрерывность функции при найденном α и разрывность при каком-либо другом α.

Подставим именно для того, чтобы функция была непрерывна, т.к. при подстановке в выражение 0, получается 0.

⇒

Если например , то правый предел функции уже будет не равен 0⇒ функция разрывна;

Найдём левый и правый предел.

Ргр №6 Тема: «Предел функции. Дифференцирование. Исследование функций и построение графиков».

Задание 1. Вычислить пределы.

Найдём предел, поделив и числитель, и знаменатель на высшую степень

1. 

При подстановке в уравнение получаем неопределённость. Для того чтоб от неё избавиться помножим и разделим на сопряжённое данному выражению

2. Задание 2. Вычислить производные

Найдём предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении аргумента к 0, т.е. производную, используя формулы и правила дифференцирования, изученные в течение курса.

Функция представляет собой сумму элементарных функций, а производная суммы функций равна сумме их производных, причём постоянный множитель выносится за знак производной.

1. 

Функция представляет собой частное элементарных функций. Воспользуемся для дифференцирования формулой:

2. 

Функция представляет собой произведение элементарных функций. Воспользуемся для дифференцирования формулой:

3. 

Задание 3. Исследовать функцию и построить график

Исследуем функцию по схеме.

Найдём область определения функции, т.е. определим какие значения может принимать .

1. 

Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.

2. 

;

-

+

-

x

Выясним чётность и нечётность функции, если - функция чётная, если - функция нечётная, если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция общего вида.

3. 

Найдём производную функции, из которой выясним, есть ли критические (точки, в которых производная не существует) или стационарные точки (точки, в которых производная равна 0).

4. 

стационарные точки;

_-

₊

_-

x

₊

_-

точка max., точка min.

Найдём значение функции в этих точках

Максимальное значение , минимальное значение

Найдём вторую производную, т.е. производную от результата первой производной, из чего получим интервалы выпуклости и вогнутости и координаты точек перегиба,.

5. 

-

+

+

6. Найдём асимптоты, т.е. прямые обладающие свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к 0, при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Вертикальную асимптоту найдём как предел функции стремящейся к точке разрыва в области определения, т.е. к

Горизонтальную асимптоту найдём как предел функции при х стремящейся к бесконечности.

=

наклонная асимптота

7

y

. Построим график

2

x

2

В заключение отметим, что при изучении математики очень существенно решение задач. Еще Ньютон высказывал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Конечно, полностью с этим согласиться нельзя, но нет сомнения, что для специалиста одно лишь теоретическое знакомство с материалом было бы бесполезно. Поэтому студенты должны сочетать изучение лекций с решением задач из задачников по высшей математике и расчетно-графических работ.