- •Глава 1. Числовые ряды
- •§1. Основные понятия
- •§2. Геометрический ряд
- •§3. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •§4. Необходимый признак сходимости ряда
- •§5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •5.1. Признаки сравнения рядов
- •1) Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится,
- •5.2. Признак Даламбера
- •5.3. Радикальный признак Коши
- •5.4. Интегральный признак Коши
- •1) Ряд (1) сходится, если интеграл сходится;
- •2) Ряд (1) расходится, если интеграл расходится.
- •§6. Знакочередующиеся ряды
- •§7. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •§8. Остаток ряда и его оценка
- •Глава 2. Функциональные ряды
- •§1. Основные понятия
- •§2. Равномерная сходимость
- •§3. Степенные ряды
- •§4. Свойства степенных рядов
- •Глава 3. Ряды фурье
- •§1. Ряды и коэффициенты Фурье
- •§2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций
§4. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера этого члена, т. е. .
Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда при неограниченном возрастании его номера не стремится к нулю, то этот ряд обязательно расходится.
Применение этого следствия часто позволяет быстро убедиться в расходимости некоторых рядов.
Пример 1. +
Решение. Данный ряд расходится, т. к. его общий член при имеет предел, равный 1: .●
Пример 2. .
Решение. Ряд расходится, т. к. = sin не существует.●
Условие является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным. То есть существуют расходящиеся ряды, для которых .
Пример 3.
Здесь . Рассмотрим частичную сумму ряда . Так как , , , …, то , или , т.е. .
Отсюда следует, что , и, следовательно, ряд расходится.●
§5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным рядом.
5.1. Признаки сравнения рядов
Теорема 1 (первый признак сравнения рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2), причем члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2),т. е. (n = 1, 2, 3, …). Тогда:
1) Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится,
2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.
Замечание. Признаки сравнения применимы и в том случае, когда условие выполняется не при всех n, а лишь начиная с некоторого n = N.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Оценим общий член данного ряда: . Ряд с общим членом сходится (геометрический ряд). По теореме 1(п.1) данный ряд также сходится.●
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд
,
который расходится (см. пример 3, §4). Так как
,
то по теореме 1(п.2) данный ряд также расходится. ●
Теорема 2 (второй признак сравнения рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов: , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Смысл этого признака состоит в том, что если общий член ряда (1) и общий член ряда (2) являются бесконечно малыми одного и того же порядка (при ), то сходимость одного из этих рядов влечет сходимость другого (а значит, и, наоборот, расходимость одного влечет расходимость другого).
При исследовании сходимости рядов с помощью признаков сравнения необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов часто используют геометрический ряд, а также
– обобщенный гармонический ряд,
который сходится при и расходится при . Это будет доказано ниже.
При получается
– гармонический ряд.
Пример 1. Исследуем сходимость ряда .
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который сходится.
Вычисляем . Значит, по теореме 2 данный ряд сходится. ●
Пример 2. Исследуем сходимость ряда
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который расходится.
Вычисляем . Значит, по теореме 2 данный ряд расходится. ●