З адача 2-1

Определить среднее значение выпрямленного тока I_d, действующие значения токов во вторичной и первичной обмотках трансформатора в схеме рис.2-1, если k_тр=1, U₁=220 В, R_d=10 Ом. Потерями в трансформаторе и токами намагничивания пренебречь; вентиль В считать идеальным.

Решение:

Н а рис.2-2 представлены диаграммы, поясняющие работу схемы. ЭДС вторичной обмотки трансформатора изображена на рис.2-2а, мгновенное значение выпрямленного напряжения U_d изображено на рис.2-2б, мгновенное значение выпрямленного тока изображено на рис.2-2в. поскольку U_d на интервале (0) представляет собой синусоиду: , то i_d на этом же интервале . На интервале (2) обе величины U_d и i_d равны нулю, т.к. вентиль В на этом интервале закрыт. Среднее значение выпрямленного тока на периоде повторяемости 2 определим, как

(2-4)

Так как k_тр=1, то E₂=U₁=220 В.

Следовательно, .

Так как мгновенное значение тока i₂=i_d, то

(2-5).

Действующее значение тока в первичной обмотке трансформатора

(2-6)

Так как мгновенное значение тока i₂ представляет собой в любой момент времени сумму постоянной составляющей и переменной составляющей , а в первичную обмотку трансформатора трансформируется только переменная составляющая , то

(2-7)

где w₁ и w₂ – числа витков первичной и вторичной обмоток трансформатора. Так как , то , где - коэффициент трансформации.

(2-8)

На интервале (0) эта функция равна: . На интервале (2) , следовательно, .

Поэтому (2-9).

На рис. 2-2 в изображены мгновенные значения выпрямленного тока i_d, или, что одно и то же, мгновенное значение тока вторичной обмотки I_d. На рис.2-2 г представлена переменная составляющая ; а на рис.2-2 д – мгновенное значение переменного тока i₁.

Задача 2-2.

U ₁=220 В; f=50 Гц; k_тр=1; R_d=10 Ом; L_d=0.01 Гн. Вентиль В и трансформатор Т_р – идеальные. Определить E_d – среднее значение напряжения в нагрузке R_d; I_d – среднее значение тока нагрузки; U_{в max} – максимальное значение обратного напряжения на вентиле; построить i_d – кривую изменения тока нагрузки и i₁ – первичного тока трансформатора.

Решение:

О пределим . Уравнение, описывающее электромагнитные процессы в цепи вторичной обмотки трансформатора на интервале открытого состояния вентиля В запишем в виде:

(2-10)

Решение этого уравнения относительно тока нагрузки i_d с учетом нулевых начальных условий находим в виде:

(2-11)

где .

Графическое изображение этой функции приведено на рис.2-4 б. Поскольку длительность открытого состояния вентиля составляет >, то среднее значение выпрямленного напряжения

(2-12)

Для определения  воспользуемся условием ;

(2-13)

З ависимость =f(), построенная по этому выражению, определена на рис.2-5. в нашем случае . Из рис.2-5 находим =3,40 рад.

.

.

.

Кривая изображена на рис.2-4 в. ток первичной обмотки трансформатора . Кривая i₁ представлена на рис.2-4 г.

Изменение напряжения на вентиле В представлено на рис.4 д, из которого находим .

З адача 2-3.

U₁=220 B. f=50 Гц. k_тр=1. R_d=10 Ом. L_d=0.01 Гн. Вентили В₁ и В₂, а также трансформатор Тр идеальные. Определить E₂ – среднее значение напряжения в нагрузке; I_d – среднее значение тока нагрузки; построить кривые напряжения на вентиле U_в; тока i_d; тока i₂, тока i₁ и тока i_В2.

Решение:

Н аличие вентиля В₂ в схеме выпрямления предопределяет длительность проводящего состояния силового вентиля В, =, так как в точке = под действием ЭДС самоиндукции открывается вентиль В₂, а вентиль В₁ закрывается (рис.2-7).

Дифференциальное уравнение, описывающее электромагнитные процессы на интервале =(0) запишем в виде:

(2-14)

На интервале =(0) это уравнение запишется в виде:

(2-15)

Решая уравнение (*) относительно тока i_d получаем:

(2-16),

где i_d0 – значение тока i_d в точке =0; .

В точке = ток i_d становится равным:

(2-17)

Решая уравнение (2-15) относительно тока i_d, получаем:

(2-18)

В точке =2 это выражение приобретает вид:

(2-19)

Решая совместно уравнения (2-17) и (2-18), находим значение i_d0:

(2-20)

По полученным выражениям строим зависимости тока i_d (рис.2-7 б), i₂ (рис.2-7 в). Ток первичной обмотки трансформатора .

Принципиально ток I_d может быть найден как среднее значение функции i_d на периоде от 0 до 2:

(2-21)

Поскольку вычисление этого интервала связано с громоздкими расчётами, то ток I_d найден из следующих соображений. Вся энергия, передаваемая в нагрузку R_d, берется из сети переменного тока в течении той части периода, когда открыт вентиль В₁, т.е. от 0 до .

Среднее значение выпрямленного напряжения за это время:

(2-22).

А поскольку , то найти эту величину проще, чем по выражению (2-11).

(2-23)

Ток i₁ (рис.2-7 д) представляет собой зеркальное отображение кривой, полученной вычитанием тока I_d из кривой i₂. Обратное напряжение на вентиле В₁ (рис.2-7 е) представляет собой одну полуволну напряжения е₂, так как вентиль В₁ закрыт на интервале от  до 2.

Задача 2-4.

О пределить расчетную мощность трансформатора на рис.2-8. потерями пренебречь. U₁=220 B, U₂=6.3 B, U₃=15 B, U₄=30 B. I₁=0.2 А, I₂=2 А, I₃=1 А, I₄=0.5 А.

Решение: Поскольку расчетная мощность трансформатора есть полусумма мощностей первичной и вторичной его сторон, то

.

Задача 2-5.

Определить расчетную мощность выпрямителя по схеме 2-1.

Решение: ; где Р₂=E₂I₂ – мощность вторичной обмотки трансформатора, Р₁=E₁I₁ – мощность первичной обмотки трансформатора. I₂ и I₁ уже были найдены [см. (2-5) и (2-9)]; I₂ =11.98 А, I₁=15.6 А.

Поскольку коэффициент трансформации k_тр=1, то Е₁=Е₂=220 В. Следовательно .

Задача 2-6.

Объяснить различие мощностей Р₁ и Р₂ в задаче 2-5 и их превышение мощности .

Р ешение: Как следует из решения задачи 2-1, ток I_d представляет собой периодическую функцию, изображенную на рис.2-9, и ее разложение в ряд Фурье (таблица 2 Приложения) имеет вид:

(2-24)

Кроме постоянной составляющей тока в разложении этой функции присутствует первая и высшие гармоники с четными порядковыми номерами. Мгновенное значение мощности, переносимой первой гармоникой, протекающей по вторичной обмотке равна:

(2-25)

Поскольку потерями в трансформаторе пренебрегаем, то точно такая же мощность переносится первой гармоникой тока первичной обмотки . Эта функция не может быть отрицательна ( ); она имеет постоянную составляющую, выделяющуюся в нагрузке R_d.

Мощность, переносимая второй гармоникой тока, протекающей по первичной и вторичной обмотке трансформатора:

(2-26)

Эта функция знакопеременна и не имеет постоянной составляющей. Это говорит о том, что мощность, переносимая второй гармоникой, колеблется между питающей сетью и выпрямителем, не выделяясь в виде полезной нагрузки в R_d, но приводя при этом к необходимости увеличения расчетной мощности трансформатора по сравнению с мощностью нагрузки в Р_d. То же самое можно сказать о всех других высших гармониках, присутствующих в разложении функции тока в ряд Фурье. Суммарная мощность, переносимая всеми высшими гармониками, составляет мощность искажения, которая бесполезно загружает магнитную систему трансформатора, электрическую сеть, снижая суммарный коэффициент мощности вентильного преобразователя, подобно реактивной мощности, но имея совершенно иную в отличие от нее природу. Но, кроме того, мощность вторичной обмотки существенно превышает мощность первичной обмотки . Это объясняется тем, что во вторичной обмотке трансформатора кроме переменной составляющей тока протекает еще и постоянная составляющая I_d; при этом приращение мощности, циркулирующей во вторичной обмотке вследствие этого равна:

(2-27)

Эта мощность циркулирует только во вторичной обмотке, так как постоянная составляющая не трансформируется в первичную обмотку. Как видно из (2-27) эта мощность пропорциональна cos, т.е. это знакопеременная функция, не имеющая постоянной составляющей. Эта мощность существует только во вторичной обмотке трансформатора и колеблется между нагрузкой и вторичной обмоткой, обуславливая превышение мощности вторичной обмотки над мощностью первичной обмотки.

Задача 2-7.

U₁=100 B. k_тр=1. R_d=10 Ом. Считая вентили идеальными и, пренебрегая потерями в трансформаторе, определить постоянную составляющую выпрямленного напряжения и тока (E_d и I_d) и действующее значение тока в первичной обмотке трансформатора I₁, построить кривую обратного напряжения на вентиле.

Р ешение: Эту схему выпрямления можно представить как две однополупериодные схемы со сдвинутыми на 180 питающими напряжениями е_2а и е_2b и работающими на одну нагрузку R_d. Поэтому напряжение на нагрузке представляет собой двухполупериодное выпрямленное напряжение (рис.2-11). Постоянная составляющая этого напряжения

; (2-28)

Так как коэффициент трансформации k_тр=1, а U₁=100 B, то E₂=100 В. И, следовательно, E_d=0.9100=90 В.

П остоянная составляющая выпрямленного тока . Токи вентилей i_a1 и i_a2, протекая по вторичным обмоткам трансформатора, создают намагничивающие силы, направленные навстречу друг другу, поэтому постоянного подмагничивания магнитопровода трансформатора в этой схеме не будет. А мгновенное значение тока в первичной обмотке трансформатора , что предопределяет, как видно из рис.2-11, синусоидальную форму тока i₁. Действующее значение этого тока находится по известной формуле

, (2-29)

но с учетом того, что i₁ –синусоидальная функция, ее действующее значение модно найти через коэффициент формы, связывающий среднее и действующее значение функции . Для синусоиды коэффициент формы k_ф=1,11. Поэтому .

Напряжение на вентиле, например В₁, равно нулю на интервале проводимости этого вентиля (от 0 до ), а на участке от  до 2, когда открыт вентиль В₂, равно суммарному напряжению обеих вторичных полуобмоток трансформатора (рис.2-11), приложенного в запирающем направлении. Амплитуда этого напряжения .

Задача 2-8.

U_AB= U_BC= U_CA=220 B.

E_2a=E_2b=E_2c=100 B.

R_d=10 Ом. x_d=.

Определить действующее значение тока в первичной обмотке трансформатора I₁.

Решение: Поскольку x_d=, то выпрямленный ток будет идеально сглажен i_d=I_d и представляет собой прямую линию, проведенную на уровне I_d параллельно оси абсцисс. Этот ток нагрузки складывается из тока i_a2 на участке от точки естественной коммутации 1 до точки естественной коммутации 2, тока вентиля 3 i_a3 (от точки 2 до точки 3), тока вентиля i_a1 (от точки 3 до точки 4). Ток вентиля 1 i_a1 изображен на рис.2-13 в. Очевидно, что постоянная составляющая этого тока . Тогда мгновенное значение первичного тока в фазе А i_a1:

(2-30)

.

Вид этой зависимости приведен на рис.2-13. Действующее значение этого тока:

(2-30)

Постоянная составляющая выпрямленного напряжения Е_d=1.17E₂=1.17100=117 В. Постоянная составляющая тока нагрузки .

.

Тогда

.

Задача 2-9.

U _A= U_B= U_C=220 B.

; .

R_d=10 Ом.

Определить постоянную составляющую выпрямленного напряжения E_d, действующее значение тока в первичной обмотке трансформатора Тр₁, построить напряжения на вентиле В₄. Вентили и трансформаторы считать идеальными.

Решение: Решение задачи поясняется диаграммами на рис.2-15. выпрямленное напряжение на нагрузке определяется наложением выходных напряжений двух выпрямителей: первого, выполненного на вентилях В₁ и В₂ и трансформаторе Тр₁; и второго, выполненного на вентилях В₃ и В₄ и трансформаторе Тр₂. первый выпрямитель питается от трехфазной сети линейным напряжением U_ВС, как видно из рис.2-14, а второй выпрямитель подключается к фазному напряжению фазы А той же трехфазной сети. Поэтому напряжение на вторичной обмотке трансформатора Тр₂ U₁₂=U_A=220 В. Напряжение на первичной обмотке трансформатора Тр₂ U₁₁=U_ВС=220 =380 В, так как линейное напряжение в трехфазной сети больше фазного напряжения в . Поскольку коэффициент трансформации первого трансформатора k_тр1=1, то напряжение на вторичных обмотках этого трансформатора . Напряжение на вторичных обмотках второго трансформатора

. Таким о бразом, напряжения на вторичных обмотках обоих трансформаторов оказывается одинаковым, равным 380 В. Однако, эти напряжения, как видно из рис.2-16 сдвинуты друг относительно друга на угол . Напряжение на нагрузке представляет собой кривую на рис.2-15 в, полученную наложением друг на друга выпрямленного двухполупериодным выпрямителем напряжения U₂₁ и напряжения U₂₂. очевидно, что вентиль В₁ и В₂ первого выпрямителя и В₃ и В₄ второго выпрямителя работают не по половине периода, а только по четверти периода: на интервале от 0 до точки 1 работает вентиль В₃, на интервале от точки1 до точки 2 – вентиль В₁, на интервале 2-3 работает вентиль В₄, на интервале 3-4 – вентиль В₂, на интервале 4-5 – снова вентиль В₃ и т.д. Постоянная составляющая напряжения на нагрузке может быть получена интегрированием функции U_d на периоде ее повторяемости , где m=4 – пульсность полученного выпрямителя. Для удобства вычисления начало координат совместим с максимальным значением выпрямленного напряжения U_{d max} . Где Е₂ – действующее значения напряжения на вторичных обмотках трансформаторов.

.

Поскольку начало координат совмещается с амплитудным значением U_d, то на интервале от до U_d будет изменяться по закону косинуса.

Постоянная составляющая выпрямленного тока . Мгновенное значение выпрямленного тока на периоде повторяемости . Этот ток протекает по вторичным обмоткам трансформаторов, в том числе и трансформатора Тр₁, действующее значение первичного тока которого необходимо рассчитать. Ток вторичной обмотки трансформатора Тр₁ изображен на рис.2-15 г. Первичный ток этого трансформатора с учетом того, что k_тр1=1 представляет собой зеркальное отображение кривой рис.2-15 г. поэтому действующее значение этого тока

.

Напряжение на вентиле В₄ строится следующим образом (рис.2-15 д) Вентиль В₄ открыт на интервале от точки 2 до точки 3. Поэтому на этом интервале разность потенциалов между катодом и анодом вентиля В₄ равна нулю. В точке 3 вентиль В₄ закрывается и потенциал его анода будет определяться напряжением (-U₂₂) на первой половине вторичной обмотки трансформатора ТР₂ (пунктир на рис.15 в). Потенциал же катода этого вентиля определяется напряжением (-U₂₁) на правой половине вторичной обмотки трансформатора ТР₁, т.к. на этом интервале открыт вентиль В₂. Поэтому на интервале от точки 3 до точки 4 напряжение на вентиле В₁ определяется как разность потенциалов анода и катода т.е. как разность (-U₂₂) и (-U₂₁) (рис.15 д). Амплитуда этого разностного напряжения определяется из векторной диаграммы (рис 2-17).

.

На интервале от точки 4 до точки 5 открыт вентиль B₃ и на катод вентиля В₄ поступает потенциал U₂₂. Поэтому разность потенциалов между анодом и катодом В₄ на этом интервале будет:

(2-32).

Амплитуда этого напряжения равна , что обуславливает увели­чение напряжения U_В4 на этом интервале (рис.2-15). На интервале от точки 5 до точки 6 открыт вентиль B₁ и поэтому потен­циал катода В₄ определяется величиной +U₂₁. А напряжение U_В4 на этом интервале равно (–U₂₂–U₂₁). Амплитуда этого напряжения равна 2E₂. В точке 6 вентиль В₄ снова открывается и вся картина пов­торяется.

Задача 2-10.

В схеме рис.2-18 . Коэффициент трансформации трансформаторов ТР₁ и ТР₂ равны: ; ; . Пренебрегая потерями в вентилях и в силовых трансформаторах определить расчетную мощность трансформаторов ТР₁ и ТР₂.

Решение:

Расчетная мощность силового трансформатора ТР₁

(2-33)

где U₁₁ и U₂₁ - напряжение соответственно на первичной и на вторичной обмотке трансформатора ТР₁, а I₁₁ и I₂₁ – точки первичной и вторичной обмотки этого трансформатора. Аналогично, расчётная мощность трансформатора ТР₂ определяется, как

(2-34)

где индексами 1.2 и 2.2 обозначено напряжение истоки в обмотках трансформатора ТР₂.

Напряжения U₁₁ и U₁₂ одинаковы: .

U₂₁ и U₂₂ находятся через коэффициенты трансформации:

; ;

Вектор напряжения на входе выпрямителя E₂ представляет собой сумму векторов напряжений на вторичных обмотках трансформаторов ТР₁ и ТР₂:

(2-35)

Так как и сдвинуты друг относительно друга на 120^o, то их сумму находим из рис.2-19. Поскольку треугольник, образованный векторами U₂₁; U₂₂; E₂ прямоугольный, а катет, образованный вектором U₂₂ ровно вдвое меньше гипотенузы, образованной вектором U₂₁, то угол α равен 30^o, следовательно .

Как известно из теории выпрямителей, ток i₂ на входе однофазного мостового выпрямителя равен .

Действующее значение этого тока .

С учетом коэффициентов трансформации трансформаторов ТР₁ и ТР₂ пер­вичные токи равны ,

Подставляя эти значения в выражение для расчетной мощности трансфор­маторов, получаем:

. .

Задача 2-11.

П остроить кривую изменения тока i₁ в первичной обмотке трансформатора на рис.2-20 если ; . Вентили и трансформатор считать идеальными.

Решение:

Т ок i₁ найдем методом наложения, как сумму тока i`, полученного в предположении, что работает только однополупериодный выпрямитель, и тока , полученного при работе только постоянного выпрямителя. Ток построен по методике, изложенной в задаче №1, а ток , представляет собой, как известно из теории выпрямителей чистую синусоиду, изменя­ющуюся в противофазе с синусоидой вторичного тока и отличающуюся от неё по амплитуде в k_тр, где k_тр – коэффициент трансформации.

Задача 2-12.

П остроить кривую изменения тока i₁ в пер­вичной обмотке трансформатора и напряжения на вентиле В (рис.2-22), в предполо­жении, что вентиль В и трансформатор Тр идеальны.

Решение: ЭДС е₂ на вторичной обмотке трансформатора изображена на рис.2-23 а. Из-за остаточного напряжения на конденсаторе e вентиль В откроется не в точке , когда ЭДС e₂ переходит через 0, а со сдвигом на угол , когда e₂ достигнет напряжения на конденсаторе С (рис.2-23 б) ; В точке начинает протекать ток заряда конденсатора С (рис.2-23 в)

, (2-36)

г де - действующее значение напряжения на вторичной обмотке трансформатора - круговая частота сетевого напряжения U_c.

Одновременно с этим по нагрузке протекает ток

(2-37)

Очевидно, что на интервале анодный ток вентиля В: .

В точке напряжение на конденсаторе С достигает амплитудного значения: и ток конденсатора i_С меняет знак на противоположный, т.к. конден­сатор начинает разряжаться на нагрузку R_d, но на интервале напряжение на конденсаторе изменяется примерно также, как и ЭДС e₂, поэтому на этом интервале ток нагрузки складывается из тока вентиля В и тока разряда конденсатора:

(рис.2-2З в)

В точке , ток вентиля снижается до 0 и вентиль В закрывается, т.к. ЭДС e₂ изменяется более интенсивно, чем напряжение на конденсаторе и потенциал катода вентиля становится более положительным, чем потенциал анода. И поэтому, начиная с точки и до точки , ток нагрузки обеспечивается только за счет разряда конденсатора: . Далее процессы повторяются. Как видно из рис.2-23 г, ток, протекающий по вторичной обмотке трансформатора . Эта функция имеет постоянную составляющую I_2cp. Так как в первичную обмотку трансформатора трансформируется только переменная сос­тавляющая, то первичный ток i₁ можно найти из условия равенства намагничивающих сил первичной и вторичной обмотки, что в предположе­нии идеальности трансформатора можно записать

, (2-38)

где w₁ и w₂ – соответственно числа витков первичной и вторичной об­моток трансформатора. Отсюда

(2-39).

Функция изображена на рис.2-23 д, на рис.2-23 е изображена функция тока i₁. Напряжение на вентиле В строим как разность потенциалов анода венти­ля, определяемого (рис.2-2З б, пунктир) и катода вентиля, определяемого напряжением U_c на интервале [θ₁÷(2π+φ)] (рис.2-23 ж). Максимальное обратное напряжение на вентиле U_{в max}, соответствует точке . На интервале (от до θ₁) вентиль В открыт, поэтому разность потенциалов между анодом и катодом равна 0.