- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
где и – постоянные величины.
Для нахождения общего решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение
.
Структура общего решения однородного уравнения зависит от характера корней:
если корни вещественные, различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:
если корни вещественные, кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:
если корни комплексные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид
Пример. Решить уравнение .
Решение. Ему соответствует характеристическое уравнение , корнями которого являются . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Ему соответствует характеристическое уравнение . Найдем его корни:
.
Корни вещественные кратные, т.е. , Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:
.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Ему соответствует характеристическое уравнение . Найдем его корни:
.
Действительная часть , мнимая часть . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.
8. Числовые ряды |
Рядом называется сумма бесконечного множества слагаемых
являющихся членами бесконечной последовательности.
Числа называются членами ряда.
Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой.
.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм при имеет конечный предел:
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
Если не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Пример. Написать -ый член ряда по данным первым его членам.
Ответ: .
Ответ: .
Ответ: .
8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд сходится, то его общий член при , т.е.
.
! Этот общий признак не является достаточным, т.е. из того, что общий член стремиться к нулю при , нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Но если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда, а именно . В наше случае , тогда
.
Так как необходимое условие не выполняется, то этот ряд расходится.
Ряд, членами которого являются только положительные числа, называется знакоположительным.
8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера. |
Если для положительного ряда существует , то |
при ряд сходится,
при ряд расходится,
при о сходимости ряда сказать ничего нельзя, т.е. надо применять другой признак.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Находим , .
– ряд сходится.
Интегральный признак Коши. |
Ряд с положительными членами сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом |
,
где – непрерывная, положительная, монотонная убывающая производящая функция.
Пример. Исследовать на сходимость гарнмонический ряд .
Решение. Вычислим
.
Гармонический ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Члены ряда можно рассматривать как значения функции при Члены ряда убывают: Вычислим
.
Несобственный интеграл сходится, значит сходится и данный ряд.
Радикальный признак Коши. |
Если для положительного ряда существует , то |
при ряд сходится,
при ряд расходится,
при о сходимости ряда сказать ничего нельзя.
(Этот признак применяется лишь тогда, когда извлекается).
Пример. Исследовать на сходимость
Решение. Преобразуем выражение под знаком суммы.
Применяя радикальный признак Коши, имеем:
Таким образом, исходный ряд сходится.
Первый признак сравнения. |
Сравним ряд с положительными членами
с другим знакоположительным рядом
|
если ряд сходится и начиная с некоторого члена ряда выполняется неравенство , то ряд также сходится;
если ряд расходится и начиная с некоторого члена ряда выполняется неравенство , то и ряд также расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом
Т.к. каждый член исходного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда, а гармонический ряд является расходящимся (интегральный признак), то данный ряд тоже расходится.
Замечание. Обобщенный гармонический ряд при сходится, при расходится.
Второй признак сравнения. |
Даны два положительных ряда и . Если существует конечный предел отношения членов ряда при , отличный от нуля, то оба ряда сходятся, либо расходятся одновременно, т.е. и . |
Пример. Исследовать ряд на сходимость .
Решение. Сравним этот ряд со сходящимся рядом (он сходится по интегральному признаку). Проверим, существует конечный, отличный от нуля предел
.
Таким образом, ряд является сходящимся.