- •4.3.1. Диамагнетики
- •4.3.2. Парамагнетики
- •4.4. Ферромагнетики. Природа ферромагнетизма
- •1.Намагничивание ферромагнетика. Этапы намагничивания
- •4.6. Явление гистерезиса
- •4.7. Граничные условия для векторов в и н
- •5. Электромагнитная индукция
- •5.1. Явление электромагнитной индукции
- •5.2. Природа электромагнитной индукции
- •5.3. Явление самоиндукции
- •5.4. Взаимная индукция
- •5.5. Ток смещения
- •5.6. Уравнение Максвелла для циркуляции вектора н
- •5.7. Уравнение Максвелла для циркуляции вектора е
- •5.8. Энергия магнитного поля
- •6. Гармонические Колебания
- •2.Гармонические колебания. Параметры гармонических колебаний
- •6.2. Формы представления гармонических колебаний
- •6.3. Сложение гармонических колебаний
- •6.3.1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний с равными частотами
- •6.3.2. Сложение одинаково направленных колебаний с разными частотами. Биения
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •3.Гармонический осциллятор
- •6.4.1. Пружинный маятник
- •6.4.2. Математический маятник
- •6.4.3. Колебательный контур
- •6.5. Энергия гармонического осциллятора
- •7. Затухающие колебания
- •7.1. Затухающие колебания пружинного маятника
- •7.2. Затухающие колебания в колебательном контуре
- •7.3. Характеристики затухающих колебаний
- •7.4. Критическое затухание
3.Гармонический осциллятор
Осциллятор* – это любая система, которая может совершать колебания после того, как её вывели из положения равновесия. Если колебательная система совершает гармонические колебания, то она представляет собой гармо-нический осциллятор.
Поведение всех гармонических осцилляторов описывается дифференциальным уравнением *.
Это уравнение принято называть уравнением гармони-ческого осциллятора.
Решение такого дифференциального уравнения имеет вид . Аргумент х дифференциального уравнения совершает гармонические колебания.
Взяв первую и вторую производные по времени от х, получим, что и они совершают гармонические колебания , .
Гармонический осциллятор – это абстрактная модель, воспроизводящая реальные колебательные системы, в которых могут происходить гармонические колебания.
Рассмотрим некоторые из них.
________________________________
* Oscillo (лат.) – качаться.
6.4.1. Пружинный маятник
Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине, коэффициент упругости которой k.
На основании второго закона Ньютона и закона Гука
или
.
Введём обозначение .
Теперь уравнение примет вид
.
Но это уравнение гармонического осциллятора. Следова-тельно, пружинный маятник является гармоническим осцил-лятором, и если пружина идеальна, отсутствует трение и нет других потерь энергии, то пружинный маятник, выведенный из положения равновесия, совершает гармонические колебания.
Величина равна цикли-ческой частоте пружинного маятника. Из этого выражения видно, что частота колебаний маятника растёт с увеличением упругости пружины и умень-шением массы груза, подвешенного к ней.
В еличина – это скорость колеблющегося груза, а – его ускорение в данный момент времени.
О тсюда видно, что для пружинного маятника, совершающе-го гармонические колебания, координата груза, его скорость и ускорение изменяются по гармо-ническому закону, т. е. соверша-ют гармонические колебания.
Из уравнений также видно, что начальные фазы колебаний сме-щения, скорости и ускорения гру-за различны. Это хорошо видно и на графиках (см. рисунок).
О братите внимание: в тот мо-мент, когда смещение от положе-ния равновесия максимально, ско-рость груза равна нулю, а уско-рение максимально по величине и направлено против смещения (так как проекция смещения положи-тельна, а ускорения – отрица-тельна).
Период колебаний пружинного маятника .
6.4.2. Математический маятник
Р ассмотрим материальную точку массой m, закреплённую на невесомой нерастяжимой нити длиной l.
Отклоним маятник от положения равно-весия на малый угол .
Разложим силу тяжести mg, действующую на груз, на параллельную и перпендикулярную нити составляющие.
Составляющая, параллельная нити, ком-пенсируется силой натяжения нити Т, поэтому они не влияют на движение маятника. Следо-вательно, движение маятника определяется составляющей Fx, которая равна Fx = -mgsin (минус в правой части обусловлен тем, что составляющая Fx всегда направлена против отклонения маятника от положения равновесия).
При малых углах отклонения кривизной траектории груза можно пренебречь, поэтому sin = = , где х – смещение груза от положения равновесия (здесь учтено, что при малых углах sin = ). Поэтому .
Введём обозначение . Тогда Fx = -kx. Это выражение похоже на закон Гука, определяющий величину силы, воз-никающей при упругой деформации тел. Следовательно составляющая Fx подобна упругой силе. Но, поскольку упругие деформации в рассматриваемой системе по условию отсутст-вуют, эту составляющую называют квазиупругой силой.
В соответствии со вторым законом Ньютона
;
;
.
Вводя обозначение , получаем
.
Таким образом, движение груза, закреплённого на нити, описывается дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Следовательно, математический маятник при малых углах отклонения совершает гармонические колебания. Они описываются уравнениями:
.
Период колебаний математического маятника .
Период Т увеличивается с увеличением длины маятника и уменьшением ускорения свободного падения (кстати, на этом основаны практически применяющиеся способы измерения ускорения свободного падения).
Обратите внимание на то, что в выражение для расчета периода колебаний математического маятника не входит m. Следовательно, период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.