3.5. Арифметические действия со сходящимися последовательностями

Теорема 1. ( Об арифметических действиях со сходящимися последовательно- стями ) Пусть , . Тогда:

а) последовательность сходится, а ее предел равен a  b;

б) последовательность сходится, а ее предел равен ab;

в) если при всех и, кроме того, , то последовательность

сходится, а ее предел равен .

Так как и , то ( п. 3.4.,замечание 2, ) и , где и .

а) , где . Так как и , то и . Таким образом, , где , поэтому ( п. 3.4.,замечание 2 ) .

б) , где . Так как и , то , ( п.3.4., следствие теоремы 2) и ; поэтому . Таким образом, , где ; значит, .

в) .

Обозначим: , , Последовательность ограничена. Действительно, так как , то либо , либо . Пусть (случай рассматривается аналогично). Выберем некоторое p, . По теореме о стабилизации знака неравенства ( п. 3.3., теорема 3 ) найдется натураль- ное такое, что при всех . Отсюда: 0 при , т.е., при всех . Обозначим через и соответственно наименьшее и наибольшее из чисел , ,  , и пусть , . Очевидно, все члены последовательности лежат на сегменте , т.е. эта последовательность ограничена. Последовательность есть б.м. последователь- ность, так как и . Значит, является произведением ограничен- ной последовательности и б.м. последовательности , поэтому ( п. 3.4., теорема 2 ) .

Итак, , где . Значит, ( п 3.4., теорема 3), .

3.6. Теоремы о монотонных последовательностях

Теорема 1. ( Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последова-

тельности )

1. Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится, а ее предел равен

2. Если невозрастающая последовательность {x _k} ограничена снизу, то она сходится, а ее предел равен inf {x _k}

1) Обозначим: . Покажем, что последовательность и число a удовлетворяют определению 1, п.3.2., а именно, что

.

Пусть задано некоторое . Так как a – точная верхняя грань для , то при всех , а число не является верхней гранью для . Зна- чит, найдется член последовательности – обозначим его через (здесь – номер этого члена последовательности ) – такой, что . Рассматриваемая после- довательность - неубывающая, значит, при всех и потому при всех выполняется . Но если , то, очевидно, ; следовательно, мы установили, что  . Число  здесь – произвольное положительное число, так что

;

значит,

2) Доказательство этого утверждения проводится аналогично.

Упражнение . Провести доказательство утверждения 2).

Теорема 2. ( О вложенных сегментах ) Пусть задана бесконечная последо- вательность сегментов , ,  , ,  , где при всех , и пусть . Если 1) при всяком сегмент содержит после- дующий сегмент и 2) , то существует единственное число , принадлежащее всем сегментам этой последовательности: ..

Из условия 1) следует, что последовательность левых концов сег -ментов является неубывающей, а последовательность правых концов – невоз- растающей. Последовательность ограничена сверху (например, числом ), зна- чит, она сходится: обозначим ее предел через . Последовательность ограни- чена снизу (например, числом ), значит, она сходится; обозначим ее предел через . Из утверждений 1) и 2) теоремы 1 имеем : , ; поэтому при всех и . Кроме того, в силу теоремы о предельном перехо- де в неравенстве (п.3.3.) из следует . Следовательно, при всех . Покажем, что .

Допустим противное: . Обозначим : . Тогда из следует: при всех , что противоречит условию теоремы. Значит, .

Итак, мы доказали, что последовательности и имеют один и тот же предел , который, очевидно, принадлежит каждому из сегментов , . Докажем теперь, что  – единственная точка, принадлежащая всем сегментам , .

Предположим противное: пусть существует вещественное число  , отличное от  и принадлежащее каждому сегменту : . Обозначим : . Так как  и  принадлежат сегменту , то = . Значит, при всех , а это противоречит тому, что . Следовательно,  – единственная точка, общая всем сегментам , .

Теорема 3. Последовательность сходятся .

Рассмотрим последовательность , где x _k = Докажем, что это убывающая последовательность; для этого, очевидно, достаточно установить, что при всех отношение меньше единицы. Имеем:

.

Воспользовавшись неравенством Бернулли ( п. 2.5.) получим :

;

отсюда :

.

Заметим:

.

. Отсюда: при всех . Итак, последовательность является убывающей последовательностью. Так как , то и при всех , т.е. ограничена снизу числом 1. По теореме 1 она сходится. ◄

Предел последовательности обозначим через е: .

Следствие. .

► Для последовательности , где можем записать: . Предел знаменателя этой дроби равен 1, предел ее числителя равен e; по теореме 1,п.3.5., получим : . ◄

Замечание. Было установлено (см. доказательство теоремы), что последова- тельность убывает, значит, . Mожно показать, что последовательность возрастает; отсюда: , Таким образом, N , причем . Это дает возможность вычислять любое количество первых десятичных знаков числа e:

e =2,718281828459045  .

Константа e – одна из важнейших в математике. В частности, она является основанием наиболее употребительной системы логарифмов. Логарифм числа x, x > 0, по основанию e называют натуральным логарифмом числа x и обозначают через lnx. Отметим связь между десятичным и натуральным логарифмами числа x :

, где M = lge = = 0,434294… .

3.7. Бесконечно большие последовательности

Среди расходящихся последовательностей наибольший интерес представляют бесконечно большие последовательности. В определенном смысле это понятие проти- воположно понятию бесконечно малой последовательности.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность стремится к , если для всякого положительного числа E существует натуральное такое, что для всех ее членов х , номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е. если

.

Геометрически требования этого определения означают, что все члены остатка лежат на числовой оси правее точки E. Таким образом, правее точки E ле- жит бесконечное множество членов последовательности , в то время, как левее этой точки может находиться разве лишь конечное их количество. Существенно, что сказанное остается справедливым при любом E  0, которое может быть взято как угодно большим. Если условия этого определения выполнены, будем записывать:

или . Очевидно, такая последовательность не ограничена сверху.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность стремит- ся к –, если для всякого положительного числа E существует натуральное та- кое, что для всех тех ее членов х , номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е., если

.

Если условия этого определения выполнены, будем записывать: или . Очевидно, такая последовательность не ограничена снизу.

Упражнение. 1) Доказать, что если неубывающая последовательность не ограничена сверху, то . 2) Доказать, что если невозрастающая последова- тельность не ограничена снизу, то .

Определение 3. Будем говорить, что последовательность стремится к , если для всякого положительного числа E существует натуральное такое, что для всех ее членов х , номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е., если

.

Если условия этого определения выполнены, будем записывать или .

Последовательности, стремящиеся к , к – или к , называют бесконечно большими последовательностями (б.б. последовательностями). Б.б. последователь- ность является расходящейся последовательностью. В самом деле, пусть – б.б. последовательность, и пусть a – некоторое вещественное число, а  – некоторое положительное число. Из определений 1, 2 и 3 вытекает, что на ограниченном интервале может находиться разве лишь конечное множество членов последовательности , поэтому a не является ее пределом. Но a – произвольное вещественное число. Значит, ни одно вещественное число не может быть пределом б.б. последовательности , т.е. она расходится.

Отметим еще, что если последовательность удовлетворяет определению 1 или определению 2, то она удовлетворяет и определению 3. Если же , то это не означает, что обязательно стремится либо к  , либо к –.

Пример 1. Пусть , где . Если q  1, то ,очевидно, воз- растает и не ограничена сверху; поэтому ( см. выше, Упражнение ) , можно также написать . Если же q  –1, то , причем не стремится ни к , ни к –.

Теорема 1. ( О связи между б.б. и б.м. последовательностями ).

Пусть задана последовательность , причем при всех . Обозначим Тогда 1) если , то ; 2) если , то .

Докажем утверждение 1). Пусть E  0 – некоторое число; обозначим : . Так как , существует такое, что

; отсюда : .

Таким образом, если положить , то имеем  . Так как здесь E  0 – произвольное положительное число, то условия определения 3 выполня -ются для последовательности ; значит, .

Докажем утверждение 2). Пусть   0 – некоторое положительное число; обозначим: . Так как , то существует такое, что

; отсюда : . Значит, если положить , будем иметь . Так как здесь ε - произвольное положительное число, то последовательность удовлет- воряет определению 1 ,п. 3.4., т.е. .

Приведенные ниже утверждения касаются арифметических действий с б.б. последовательностями.

а) Если и , то и (здесь следует выби- рать либо везде знак ““, либо везде знак “–”).

б) Если , – или , а последовательность ограничена, то стремится к , – или  соответственно.

в) Если , , то и .

г) Если , а , a  0, то .

Упражнение. Доказать утверждения а) – г).

3.8. Фундаментальные последовательности

Определение 1. Последовательность назовем фундаментальной пос- ледовательностью, если для любого   0 существует натуральное такое, что нера- венство справедливо при любых натуральных n и m, больших, чем , т.е. если

N : N N ( )

Геометрически сформулированные выше условия означают, что все члены ос-татка последовательности лежат на интервале длины 2, в каче- стве которого можно взять -окрестность любой точки , где . Такой интервал длины 2 содержит бесконечное множество членов последовательности , в то время как вне этого интервала может находиться разве лишь конечное их количество. Существенно, что сказанное остается справедливым при любом   0, которое может быть взято как угодно малым. В п. 3.2. были отмечены аналогичные черты в поведе- нии сходящейся последовательности. Наличие этой аналогии обьясняет следующая теорема.

Теорема 1. (Критерий Kоши). Для того, чтобы последовательность была схо- дящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство этой теоремы мы здесь приводить не будем. Его можно найти в учебниках математического анализа [1] и [2].

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 1. Пусть – заданное число, , . Рассмотрим последовательность . Выше (п. 3.2., пример 1 ) было показано, что при . При все члены этой последовательности равны единице; поэтому . При эта последовательность расходится (п. 3.2., пример 3). Таким образом, поведение известно при всяком q, | q |  1.

Пусть теперь . Покажем, что в этом случае последовательность , расходится. В силу критерия Коши достаточно показать, что она не является. фундаментальной. При произвольных натуральных n и m, удовлетворяющих нера- венству n  m , имеем:

.

Выберем  достаточно малым: . Тогда из полученных выше не- равенств при любых натуральных n и m будем иметь: . Следовательно, для такого не существует натуральное k _ε, о котором идет речь в определении 1; по- этому последовательность , , не является фундаментальной (см. также п. 3.7.,пример 1 ). В силу критерия Коши она расходится.

19