Задачи для самостоятельного решения по подразделу 3.2. Задание 4
Найти оптимальную передаточную функцию линейной системы, на вход которой поступают полезный сигнал X(t) и помеха U(t), характеризующиеся корреляционными функциями KXX() и KUU(), соответственно. Функции линейной системы даны в таблице вариантов.
Во всех вариантах принять KXX()=DXe. Предложить пассивный электрический контур, реализующий оптимальную передаточную функцию линейной системы, и связать его параметры с характеристиками корреляционных функций полезного сигнала и помехи на входе системы.
Номера вариантов |
Функция линейной системы |
KUU() |
1…6 |
фильтр |
DUe |
7…10 |
фильтр с упреждением |
|
11…14 |
фильтр с запаздыванием |
|
15…18 |
фильтр с запаздыванием |
с21() |
4. Выбросы случайных процессов
ТИПОВАЯ ЗАДАЧА С РЕШЕНИЕМ
Найти
математические
ожидания числа выбросов стационарного
нормального случайного процесса за
заданный уровень с в течение времени Т
(M[N(c;T)])
и
времени пребывания процесса X(t)
за время Т выше этого уровня (M[Tc]).
Заданы
математическое ожидание и корреляционная
функция стационарного процесса X(t):
M[X(t)]=0,
()=
;
c=1;
=1;
=2
1/ч2;
Т=10
ч.
Решение
Математическое ожидание числа выбросов стационарного случайного процесса за время Т выше уровня с определяется по выражению:
M[N(c;T)]=
,
(4.1)
где
Y
–
среднеквадратическое
отклонение случайного процесса Y=
.
Дисперсия
D[Y]=KYY(0),
а KYY()=
-
KXX().
В рассматриваемом примере
KYY()=
[
.
(4.2)
Из (4.2) следует, что KYY(0)=DY=2DX. При подстановке числовых значений и DX DУ=4 и Y=2.
Подставив в (4.1) Y и остальные параметры, получим M[N(c;T)]= M[N(1;10)]=1.93 ч.
Математическое ожидание времени нахождения в течение интервала Т нормального случайного процесса X(t) выше уровня с определяется как
M[Tc]=T
,
(4.3)
где
— функция Лапласа (интеграл вероятности).
Следует отметить, что при решении задачи о выбросах, связанной с определением корреляционной функции процесса Y(t)= , производная корреляционной функция процесса X(t) должна быть непрерывной.
В табл. 4.1 приведены выражения для KXX(), принятые в вариантах задания 4.
Таблица 4.1
-
Номер
KXX()
KXX()
1
DXexp(-2)cos
2
DXexp(-)(1+)
3
DXexp(-)(cos+
)
Варианты заданий приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Номер варианта |
НомерKXX() |
c |
mX |
X |
T, ч. |
1/час2 |
1/час |
1/час |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
10 |
2 |
- |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
2 |
10 |
2 |
- |
|
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
10 |
2 |
- |
|
4 |
1 |
3 |
1 |
1 |
20 |
8 |
- |
3 |
5 |
1 |
4 |
2 |
2 |
20 |
8 |
- |
3 |
6 |
1 |
4 |
2 |
3 |
20 |
8 |
- |
3 |
7 |
2 |
1 |
0 |
1 |
10 |
- |
2 |
- |
8 |
2 |
1 |
0 |
2 |
10 |
- |
2 |
- |
9 |
2 |
2 |
1 |
3 |
10 |
- |
2 |
- |
10 |
2 |
3 |
1 |
1 |
20 |
- |
3 |
- |
11 |
2 |
4 |
2 |
2 |
20 |
- |
3 |
- |
12 |
2 |
4 |
2 |
3 |
20 |
- |
3 |
- |
13 |
3 |
1 |
0 |
1 |
10 |
- |
2 |
|
14 |
3 |
1 |
0 |
2 |
10 |
- |
2 |
|
15 |
3 |
2 |
1 |
3 |
10 |
- |
2 |
|
16 |
3 |
3 |
1 |
1 |
20 |
- |
3 |
4 |
17 |
3 |
4 |
2 |
2 |
20 |
- |
3 |
4 |
18 |
3 |
4 |
2 |
3 |
20 |
- |
3 |
4 |
