§2. Коэффициенты прямых затрат

Приведенные выше системы уравнений (1) и (2) отражают линейную зависимость между затратами на производство и выпуском продукции . Если увеличить производство продукции какой-либо отрасли, то соответственно (при прочих равных условиях) возрастут и затраты на производство продукции данной отрасли. Количественно эта связь выражается через коэффициенты затрат продукции одной отрасли на производство продукции другой отрасли. Коэффициенты эти принято обозначать через a ij . Они показывают расход продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли и исчисляются по следующей формуле:

a ij = ,

откуда

x ij = ,

где a ij – коэффициенты затрат продукции отрасли i напроизводство единицы продукции отрасли j; x ij – общий объем затрат продукции отрасли i на производство продукции отрасли j; Y j – общий объем производства продукции отрасли j.

При этом если x ij и Y j даны в ценностном выражении, то и a ij является удельным расходом в рублях на 1 р. продукции. Если же x i j и Y j даны в натуральном выражении, то a ij будет удельным расходом в натуральном выражении (единиц i-го продукта на единицу j-го продукта).

Коэффициенты затрат a ij отражают прямые связи между отраслями. Например, расход угля непосредственно на выработку электроэнергии, расход металла непосредственно на производство станков и т.д. Поэтому их называют коэффициентами прямых затрат .

Если выразить общий объем затрат продукции одних отраслей на производство продукции других отраслей ( x ij ) через произведение коэффициентов прямых затрат на весь выпуск потребляющей отрасли ( a ij Y j ), то система уравнений использования продукции в народном хозяйстве, по данным межотраслевого баланса в ценностном выражении, примет следующий вид:

Y 1 =a 11 Y 1 +a 12 Y 2 +…+a 1j Y j +…+a 1m Y m +y 1 ;

Y 2 =a 21 Y 1 +a 22 Y 2 +…+a 2j Y j +…+a 2m Y m +y 2 ;

…………………………………………………

Y i =a i1 Y 1 +a i2 Y 2 +…+a ij Y j +…+a im Y m +y i ;

…………………………………………………

Y n =a n1 Y 1 +a n2 Y 2 +…+a nj Y j +…+a nm Y m +y n ;

или в сокращенной записи

Y i = при (i=1,2,…,n).                                              (6)

Если теперь выписать коэффициенты прямых затрат (a ij ) в отдельную таблицу, то они образуют матрицу коэффициентов прямых затрат , характеризующих производственные связи между отраслями. Матрица эта имеет следующий вид:

                                                (7)

Приведенную выше систему уравнений (6) в матричной форме можно записать в виде:

Y=AY+y ,                                                                   (8)

где A – упомянутая матрица коэффициентов a ij ; Y – вектор-столбец Y ; y – вектор-столбец y .

Эта же система уравнений (8) может быть представлена в виде:

(E-A)Y = y,                                                                 (9)

где Е – единичная матрица (матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, остальные элементы матрицы равны 0).

В матричной форме это записывается в виде

.                        (10)

Такая символика, широко применяемая в линейной алгебре, очень удобна для пользования, так как освобождает от необходимости громоздких записей матриц в развернутом виде.