2. Мерное метрическое пространство
Если в мерном векторном пространстве определить дополнительную операцию, называемую скалярным произведением векторов, то векторное пространство превращается в - мерное метрическое пространство. В этом случае говорят, что векторное пространство снабжено метрикой.
Определение 1. Любым двум векторам поставим в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением векторов и , обозначаемое, как и удовлетворяющее следующим аксиомам:
1.
2.
3.
-6-
Антисимметричному тензору можно поставить во взаимнооднозначное соответствие вектор
(6.16a,b)
где - тензор (символ) Леви - Чивитта. Вектор , представленный своими компонентами (6.16) в декартовом базисе , называется вектором угловой скорости вращения ассоциированных базисов . Согласно (6.16a)
(6.17)
Подставляя (6.16 b) в (6.14) и учитывая (6.17), получаем формулу
(6.18)
Полученная формула определяет производную любого вектора в направлении кривой , обусловленную вращением ассоциированных базисов , а, следовательно, и вращением координатных
-43-
- длины ее дуги. Дифференцируя (6.9b) по вдоль кривой , получаем
(6.11)
Подставим значения из равенства (6.9 a) в (6.11), тогда
(6.12)
Введем обозначение
(6.13)
и перепишем (6.12) в этих обозначениях
(6.14)
Функции являются компонентами в декартовом базисе тензора 2-го ранга, называемого тензором вращения базисов . Покажем, что тензор вращения антисимметричен, т.е.
(6.15)
Воспользуемся для этого его определением (6.13) и ортогональностью (6.4) матрицы Имеем
-42-
Скалярное произведение в общем случае не обязано быть положительным числом. Если , то говорят, что вектор имеет “норму” или “модуль” равный В случае, когда , но не является нуль-вектором, говорят, что - изотропный вектор. Когда модуль вектора равен
Определение 2. Метрика пространства называется положительно определенной, если для любого , не являющегося нуль-вектором, и только для нуль-вектора . В противном случае, метрика пространства называется индефинитной.
Определение 3. Векторы и называются ортогональными, если
Следствие. Всякий изотропный вектор ортогонален себе.
Определение 4. Мерой угла между направлениями любых двух неизотропных векторов и является величина
(2.1)
Заметим, что в пространстве с индефинитной метрикой правая часть равенства (2.1) по модулю
может превышать единицу. Поэтому это равенство
-7-
следует понимать как формальное определение функции . В пространстве с положительно определенной метрикой правая часть (2.1) совпадает с традиционным определением тригонометрической функции .
Примеры метрических пространств,
используемых в физике
1.Трехмерное евклидово пространство с положительно
определенной метрикой. Классическая физика.
2. Четырехмерное пространство-время Минковского с
индефинитной метрикой. Специальная теория
относительности.
3. Четырехмерное риманово пространство-время с
индефинитной метрикой. Общая теория
относительности.
4. Пространство скоростей в специальной теории
относительности совпадает с трехмерным
пространством Лобачевского - Боияи с
положительно определенной метрикой.
Упражнение.
Показать, что в пространстве с положительно
определенной метрикой область изменения правой части выражения (2.1) совпадает с интервалом .