3.2. Дискретные схемы замещения

С ростом сложности цепей разностные уравнения целесообразно составлять с помощью дискретных схем замещения цепи, являющихся моделью вычислительного алгоритма. Дискретные схемы составляют на основе формальной аналогии разностных уравнений L- и C-элементов с уравнениями Кирхгофа резистивных цепей. Параметры схем замещения зависят от шага и алгоритма численного интегрирования.

Рассмотрим схемы замещения накопительных элементов, соответствующие обратному алгоритму Эйлера. В этом случае дифференциальные соотношения между током и напряжением на L- и C-элементах (3) переходят в разностные схемы вида

(26)

(27)

Коэффициенты при напряжениях и токах имеют размерность сименс и ом, соответственно. Поэтому эти коэффициенты можно рассматривать как проводимости и сопротивления

;

Значения тока i_L[k] и u_C[k] на k-м этапе расчета считаются известными. Поэтому их можно представить в схемах замещения и сточниками тока I_L[k] = i_L[k] и источниками напряжения E_C[k] = u_C[k]. Дуальные схемы L- и C-элементов, составленные по уравнениям (26) и (27), показаны на рис.7.

Использование дискретных схем замещения позволяет свести расчет переходного процесса к последовательности расчетов резистивных цепей постоянного тока.

Для составления разностных схем и получения алгоритма расчета предпочтение отдается методу узловых напряжений, для которого процедура автоматического формирования уравнений с использованием топологических характеристик цепи является наиболее простой.

Составим дискретную схему замещения (рис.8) рассматриваемой цепи (см. рис.1) и запишем уравнения узловых напряжений и в традиционной форме

где G_L = h/L, G_C = C/h, I_C[k] = u_C[k]G_C.

Решение системы уравнений позволяет определить требуемые составляющие режима

Рассмотрим матрично-топологический метод формирования разностных уравнений. Для этого составим матрицу соединений A_s размером (n_N – 1)  n_B и матрицу главных контуров В_с размером п_С  п_В, где n_N, n_В, n_С – число узлов, ветвей и хорд графа. Матрицы A_s и В_с должны удовлетворять соотношению A_sВ_с = 0. В соответствии с графом цепи (рис.8) получим

;

где символ 1 в матрице А_s означает вытекание тока из соответствующего узла, в матрице В_с – совпадение направлений ветви дерева (сплошная линия) с направлением обхода независимого контура, задаваемого хордой (пунктирная линия).

Сопоставляя положительные направления тока и напряжения обобщенной ветви (рис.9) с направлениями токов и напряжений в схеме (см. рис.8), запишем вектор источников напряжения Е, вектор источников тока I и диагональную матрицу проводимости ветвей Y_B:

Сформируем матрицы узловых токов I_N и узловых проводимостей Y_N

; .

Узловые напряжения U_N, напряжения ветвей U_B и токи ветвей I_B вычисляются по формулам

. (28)

Приведем результаты расчета по формулам (28) для вектора токов ветвей I_B при следующих параметрах: G₁ = G₂ = 2, G₃ = 10, C = 1, L = 2/3, u₁ = 1, h = 0,05

Четвертая строка вектора совпадает с выражением для тока , полученного в результате применения формул неявного алгоритма Эйлера (24) к исходной системе уравнений состояния (12).

4. Методы решения динамических уравнений

и способы их представления

4.1. Виды стандартных сигналов

Динамические свойства систем определяются их реакциями на сигналы. По виду реакции и ее параметрам судят о качестве передающей цепи как функционального преобразователя, предназначенного, например, для задержки сигнала во времени, интегрирования, дифференцирования, фильтрации, неискажающего либо другого преобразования.

Измерение реакций цепи на совокупность сигналов и их обработка по определенному алгоритму позволяет решать задачи идентификации цепей с неизвестными параметрами и структурой, осуществлять диагностику электрооборудования, сетей и других объектов.

Для исследования цепей используются различные виды сигналов. В качестве моделей сигналов используются элементарные и обобщенные функции. Среди последних особое значение имеют единичная ступенчатая функция Хевисайда 1(t) и дельта-функция Дирака . Функция имеет размерность 1/с и характеризуется единичной площадью при бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуде. Дельта-функция определяется свойствами

.

В качестве модели короткого импульса u_i(t) используют выражение u_i(t) = Aδ(t), где А – площадь импульса. Реакция цепи на сигнал называется импульсной характеристикой .

Функция Хевисайда 1(t) отражает свойство идеального ключа, мгновенно подключающего источник к цепи в момент t = t₀:

.

В реальных устройствах время нарастания сигнала всегда конечно.

Связь функций 1(t) и выражается формулами

.

Реакция цепи на единичный ступенчатый сигнал называется переходной характеристикой .

Ступенчатый сигнал 1(t) и линейно нарастающий сигнал u(t) = kt1(t) связаны соотношениями

; .

Реакция цепи на сигнал u(t) с единичным угловым коэффициентом k = 1 обозначается h₂(t).

Для определения амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо-частотных (ФЧХ) характеристик цепи используется установившаяся реакция на гармонический сигнал

.

В качестве других сигналов используются импульсы различной формы u_i(t) и их периодические последовательности u(t)

,

где Т – период следования импульсов.

Наиболее общей формой сигнала является случайный процесс.

Импульсная и переходная характеристики используются в качестве весовых функций при определении реакции цепи на сигнал с помощью интегралов Дюамеля. В ряде случаев интеграл наложения может быть выражен в виде суммы реакций на ступенчатые, линейные и гармонические сигналы, с помощью которых представляется входной сигнал. Например, прямоугольный импульс может быть представлен в виде двух ступенчатых функций, одна из которых задержана относительно другой на время, равное длительности импульса t_и (рис.10, а). Реакция на такой сигнал будет слагаться из реакций на ступенчатые функции.

Сигнал треугольной формы (рис.10, б) можно рассматривать как результат наложения линейно изменяющихся напряжений, сдвинутых во времени на интервалы t_и/2 и t_и.

В этом случае реакция на импульс будет состоять из комбинации реакций на линейное напряжение. Рассмотрим реакции цепи на указанные виды сигналов, используя следующие методы решения уравнений состояния:

 метод матричных экспонент, численная реализация которого используется для решения уравнений на ЭВМ;

 метод структурных схем;

 классический метод расчета переходных процессов, который в наибольшей степени отражает физические процессы, происходящие в цепях при смене состояний.