- •Інтерполяційний многочлен лагранжа
- •Скінченні різниці та їх властивості
- •За допомогою 4 властивостей легко дістати послідовні скінченні різниці многочлена
- •За властивостями 1-4 маємо
- •Перший інтерполяційний многочлен ньютона
- •Другий інтерполяційний многочлен ньютона
- •Підставивши значення цих коефіцієнтів в (2.27), маємо
- •Побудуємо таблицю для обчислення різниць
- •Для оцінки погрішності скористаємося нерівністю
- •Для порівняння по формулі лінійної інтерполяції одержуємо
Розділ 2. ІНТЕРПОЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Н ехай на відрізку [а; b] визначено певний клас функцій {Р(x)}, наприклад клас алгебраїчних многочленів, а в точках x0, x1, ..., хn цього проміжку задано значення деякої функції у0 = f(х 0), у1 = f(x1),• • • ,уn = f(xn). Наближену заміну функції f на відрізку [а; b] однією з функцій Р(х) цього класу так, щоб функція Р(х) в точках x0, x1, ..., хn набувала тих самих значень, що й функція f, тобто щоб Р(хі) =уі (і =0, 1, ..., п), називають інтерполюванням, або інтерполяцією. Точки x0, X1, ..., Хn називають вузлами інтерполювання, функцію Р(х)— інтерполюючою функцією, а формулу f(x)≈Р(х) за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [а; b], — інтерполяційною формулою.
З геометричного погляду задача інтерполювання полягає в знаходженні кривої у= Р(х) певного класу, яка проходить через точки площини з координатами (хі, уі) (і = 0, 1, ..., п) (рис. 2.1).
Якщо функція Р(х) належить класу алгебраїчних многочленів, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, диференціювати й інтегрувати.
У деяких випадках доцільніше використовувати інші класи інтерполюючих функцій. Якщо, наприклад, функція f періодична, то функцію Р(х) природно вибирати з класу тригонометричних многочленів, а якщо функція f перетворюється в нескінченність у заданих точках або поблизу них, то функцію Р(х) доцільно вибирати з класу раціональних функцій.
Розглядатимемо лише задачу параболічного інтерполювання, яку сформулюємо так: в n+1 різних точках X0, X1, ..., Хn задано значення функції f:У0 = f(Х 0), У1 = f(X1), • • ,Уn = f(Xn) і треба побудувати многочлен
Pn (х) =q0 xn+ q1хn-1 + • • • + qn, (2.1)
степеня n, який задовольняв би умови
f(xi)=Pn(xi), i=0,1, . . ., п (2.2)
Многочлен Рn(х), який задовольняє умови (2.2), називають інтерполяційним многочленом наближену рівність f(x)≈Рп(х) — інтерполяційною формулою, а різницю Rn(f,x)=f(x)- Рп(х) — залишковим членом інтерполяційної формули. Хоч інтерполяційний многочлен, що задовольняє умови (2.2), і єдиний, проте можливі різні форми його запису.
Інтерполяційний многочлен будують тоді, коли;
1) функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а треба знайти її значення для значень аргументу, яких у таблиці немає;
2) функцію задано графічно, наприклад за допомогою самописного приладу, а треба знайти її наближений аналітичний вираз;
3) функцію задано аналітичне, але її вираз досить складний і незручний для виконання різних математичних операцій (диференціювання, інтегрування тощо).
Інтерполяційний многочлен лагранжа
Нехай у точках хi (і = 0, 1, ..., п) , де Х0 < Xi < ... < Хп задано значення функції f : У0 = f(Х 0), У1 = f(X1), • • ,Уn = f(Xn) . Треба побудувати многочлен Ln(x) степеня n , який у вузлах хі (і=0,1,..., п) набуває тих самих значень, що й функція f, тобто
Ln(xi)=yi, i= 0, 1, 2,. ..,n. (2.3)
Шукатимемо інтерполяційний многочлен Pn(x)будем за допомогою многочлена Ln у такому вигляді:
Ln (x,x i ) = (Х—Хо)(Х—Х1) ••• (X—Xi-1)(X—Xi+1) ••• (Х—Хп)
(Xi – X0) (Xi – X1) •••(Xi- X i-1) (Xi-xi+1)••(Xi-Хn) (2.4)
де
. (2.5)
Тоді вираз інтерполяційного многочлена Рп (х) має
Рп (х) = Ln(Х, Xi)* Yi = Ln (х, хо) у 0 + Ln (х, x1)y1+• • • + Ln (х, xn)yn=
(2.6)
де многочлен степеня п, відповідає, умовам (2.5) і умовам (2.3).
Многочлен Pn(x) виду (2.6) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність f(x) ≈Рп(х) — інтерполяційною формулою Лагранжа.
Ln(Х, Xi) (і =0, 1, ..., п) у многочлені Лагранжа називають коефіцієнтами Лагранжа.
Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа (2.6).
1. Нехай n=1, тобто значення функції f задано в двох вузлах хо і х1. Позначимо ці значення уо і у1. Тоді з формули (5.6) дістанемо
Р1 (х) = Ln (х, хо) у 0 + Ln (х, x1)y1= (2.7)
Формулу (2.7) називають формулою лінійного інтерполювання. При лінійному інтерполюванні дуга кривої у=f(x) на відрізку [xо; х1] замінюється відрізком прямої (2.7), що лежить між точками (xо;уо) і (х1; у1).
2. Нехай n=2. Функцію f задано в трьох вузлах хі (і = 0, 1,2) значеннями уі (і =0, 1, 2). У цьому разі формула (5.6) набирає вигляду
P2 (x) = L2 (x, x0) У0 + L2 (x, x1) У1 + L, (x, x2) У2 (2.8)
Формулу (5.11) називають формулою квадратичного інтерполювання. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої у =f(x) на відрізку [xо; х2] замінюється дугою параболи, що проходить через точки (хі; уі) ,i=0, 1, 2.
Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа, Якщо функція f на відрізку [a; b] є многочленом степеня, що менший або дорівнює n, то з єдиності інтерполяційного многочлена випливає, що інтерполяційний многочлен Ln(x) тотожно дорівнює f, тобто f(x)-Pn(x) ≡ О, х є [а; b].
Якщо f на відрізку [а; b], який містить вузли інтерполяції хі (і =0, 1,...,n), не є многочленом степеня, що менший або дорівнює n, то різниця
Rn(f,x) =f(x)-Pn(x) -(2.9)
дорівнюватиме нулю лише у вузлах інтерполяції хі (і =0, 1, ..., n), а в інших точках відрізка [а; b] вона відмінна від тотожного нуля. Функцію Rn(f,x), яка характеризує точність наближення функції f інтерполяційним многочленом Pn(x) , називають залишковим членом інтерполяційної формули Лагранжа (2.6), або похибкою інтерполювання. Якщо відомий аналітичний вираз функції f , то можна оцінити Rn(f,x).
Справедлива така теорема.
Теорема. Якщо вузли інтерполювання хі (і =0, 1, …, n) різні і належать відрізку [а; b] , а функція f диференційована n+1 раз на відрізку [а; b], то для будь-якої точки х Є [а; b] існує така точка хє [а; b], що для похибки інтерполювання справедлива рівність
Rn (х) Mn+1
(2.10)
де Mn+1=max f(n+1)(x).
З формули (2.10) видно, що абсолютна похибка інтерполяційної формули Лагранжа пропорційна добутку двох множників Mn+1 і │(x-x0)(x-x1)…(x-xn)│, з яких Mn+1 залежить лише від функції f , а величина другого│(x-x0)(x-x1)…(x-xn) │, визначається виключно вибором вузлів інтерполювання. Зменшити величину абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа можна таким вибором вузлів інтерполювання, за якого множник │(x-x0)(x-x1)…(x-xn) │ набуває найменшого максимального значення на відрізку [а;b].
Приклад 1. Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції f(x)=lnх з вузлами x=2,3,4 і оцінити погрішність інтерполяційного многочлена при х=2,5. Значення функції у вузлах інтерполяції
х |
2, |
3 |
4 |
F(x) |
0,6931 |
1,0986 |
1,3863 |
Многочлен Лагранжа будемо будувати по наступній формулі:
Рп (х) = Ln(Х, Xi)* Yi = Ln (х, хо) у 0 + Ln (х, x1)y1+• • • + Ln (х, xn)yn=
Тут п =2 і
Р2(х)=0.6931 +1,0986 +1,3863 =-0,4713+0,7000x- 0,0589x2.
Для оцінки погрішності скористаємося нерівністю
|R 2 (2,5)|<М3(2; 4)-
де |A3(2,5)| =0,5*0,5*1,5 =0,375,
f(x)=lnx, f’(x)=1/x, f’’(x)=-1/x2, f’’’(x)=2/x3
Звідси відповідно M3 (2; 4) = 1/4 , і остаточно
|R 2 (2,5)|<0,25 =0,0156.
Насправді погрішність менше. Визначаючи ln2,5 чотиризначним таблицям, знайдемо
ln2,5-Р2 (2,5) =0,9163—0,9103=0,0057.
Інтерполяційний многочлен Лагранжа може бути побудований при будь-якім розташуванні вузлів інтерполяції. Однако, якщо буде потрібно для поліпшення наближення підвищити на одиницю число вузлів (тобто степеня многочлена) додатком нового вузла, многочлен Лагранжа прийдеться переобчислити заново. У цьому відношенні значно користатися інтерполяційним многочлен Ньютона, до побудови якого ми і переходимо.