- •Передмова
- •1.2. Вступ до математичного аналізу
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.3. Похідна та її застосування
- •Правила диференціювання
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.4. Невизначений інтеграл
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.5. Визначений інтеграл
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.6. Звичайні диференціальні рівняння
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
1.5. Визначений інтеграл
Обчислення визначеного інтеграла |
|
Назва |
Аналітичний запис |
Формула Ньютона-Лейбніца |
, де – F(x) первісна функції f(x) на [a;b], - знак подвійної підстановки |
Формула заміни змінної у визначеному інтегралі |
|
Формула визначеного інтегрування частинами |
|
Застосування визначеного інтеграла (геометричні задачі) |
|||
Назва поняття |
Геометричне зображення |
Формули для обчислення |
|
1 |
2 |
3 |
|
Площа плоскої фігури: а) площа криволінійної трапеції, якщо |
|
а) криву задано явно:
б) криву задано параметрично:
|
|
б) площа криволінійної трапеції, якщо |
|
|
|
в) площа фігури, зображеної на рисунку |
|
|
|
г) площа фігури, обмеженої кривими y=f1(x), y=f2(x) та прямими x=a, x=b |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Довжина дуги кривої |
|
а) криву задано явно:
б) криву задано параметрично:
|
|
Об’єм тіла обертання |
|
|
Запитання для самоконтролю
Дайте означення визначеного інтеграла. Які його властивості?
Запишіть формулу Ньютона-Лейбніца.
Які основні методи обчислення визначених інтегралів Ви знаєте?
Дайте означення невласних інтегралів І-го і ІІ-го роду. Як вони обчислюються?
Наведіть приклади задач з геометрії і фізики, що розв’язуються за допомогою визначеного інтеграла. Запишіть необхідні формули.
Рекомендована література: [1], розділ 4, п.4.2; [8], розділ XI, §1-7, розділ XII, §1-7; [5], ч.3, практичні заняття 10-13, 15-16.
Приклад 5.1. Знайти інтеграли:
а) б) в)
Розв’язання. а) Використаємо метод підведення під знак диференціала.
б) Застосуємо формулу визначеного інтегрування частинами:
Тоді
в) Обчислимо інтеграл, використавши метод заміни змінної.
Приклад 5.2. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність:
а) б)
Розв’язання. а) Маємо невласний інтеграл першого роду.
Інтеграл збігається.
б) Маємо невласний інтеграл другого роду.
Підінтегральна функція терпить нескінчений розрив при х = 0.
Інтеграл розбігається.
П риклад 5.3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями
у = 3х – х2, у = -х.
Р озв’язання. Знайдемо точки перетину прямої у =f1(x)= -х і параболи у = f2(x)= 3х- .
Точки перетину ліній О(0;0) і А(4;-4).
Площа цієї фігури:
Завдання для самоконтролю
1. Знайти інтеграли:
а) ; б) ; в) .
2. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність:
а) ; б) .
3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:
а) ; б) .