1.2. Характеристика ких-фильтров

Определим характерные черты КИХ-фильтров [5].

1.Структурная устойчивость. Знаменатель передаточной функции КИХ-фильтра (1.2) тождественно равен единице, т.е. не имеет корней, следовательно, КИХ-фильтры при любых значениях коэффициентов устойчивы.

2.Отсутствие накапливаемой ошибки.

Если на вход КИХ-фильтра подать одиночный прямоугольный импульс, то можно увидеть, что импульсная характеристика системы будет конечной, что и определило название этого типа фильтров. Если

,

то в соответствии с формулой (1.1):

;

;

;

…

;

.

В разностное уравнение КИХ-фильтра (1.1) не входят значения выходной переменной на предыдущих отсчетах, а только значения входной переменной. Нерекурсивные КИХ-фильтры имеют конечную "память", т. е. после снятия входного сигнала переходный процесс завершится за конечное число периодов дискретизации, и, следовательно, по истечении времени реакции, соответствующего N-1 отсчетам, все последствия неправильного задания начальных условий исчезнут.

3. Наличие прототипа в области непрерывных сигналов. КИХ-фильтры имеют свой прототип в области непрерывных сигналов (линии задержки), что существенно при решении задач с переходом из цифровой области в непрерывную и обратно.

4.Простота выбора коэффициентов и лёгкость проектирования.

5. Доступность средств автоматизированного проектирования (САПР), такие как Matlab, LabView и др. Процедура проектирования КИХ-фильтров строго алгоритмизирована, что и определило возможность ее автоматизации.

6.КИХ-фильтры принципиально вносят запаздывание .

7.Линейная ФЧХ. Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИХ-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИХ-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенно линейную ФЧХ). Это обеспечивает отсутствие искажения от задержки и только фиксированную задержку.

8.Высокоэффективные КИХ-фильтры строятся с использованием большого числа операций умножения с накоплением и поэтому их реализация требует значительных вычислительных затрат, т.е. использования быстрых и эффективных сигнальных процессоров, реализующих цифровую обработку сигналов.

9.При одной и той же АЧХ БИХ-фильтры имеют меньший порядок, чем КИХ-фильтры, т.е. обеспечивают более высокое быстродействие, меньшее запаздывание и более простую реализацию.

1.3.Общий порядок синтеза ких-фильтра.

Проектирование КИХ-фильтров базируется на том, что частотная характеристика фильтра определяется импульсной характеристикой. Таким образом, процесс проектирования КИХ-фильтра состоит в определении его импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике с последующим квантованием импульсной характеристики в ходе генерации коэффициентов фильтра [2].

Метод проектирования, основанный на использовании окон для усечения импульсной характеристики и получения желаемой частотной характеристики, исторически был первым методом проектирования КИХ-фильтров. Он является наиболее популярным и простым методом синтеза КИХ-фильтра.

Процесс проектирования КИХ-фильтра состоит из нескольких этапов (рис. 1.5):

1.Задаться АЧХ КИХ-фильтра.

2.Вычислить импульсную характеристику.

3.Задаться периодом дискретизации.

4.Провести дискретизацию импульсной характеристики.

5.Выбрать длину КИХ-фильтра N.

6.Применить оконную функцию к импульсной характеристике.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее.

1.На рис. 1.6 представлены АЧХ основных типов фильтров. Если предположить, что ФЧХ , то передаточная функция идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) описывается выражением:

. (1.4)

Рис. 1.5. Этапы оконного проектирования КИХ-фильтров

2.Вычисление идеальной импульсной характеристики производится с использованием обратного преобразования Фурье по следующей формуле:

. (1.5)

Соответствующая импульсная характеристика ФНЧ во временной области представлена на рис. 1.5б.

3.Период дискретизации выбирается в соответствии с теоремой Котельникова, которая состоит в следующем: любая непрерывная функция , спектр которой ограничен сверху , может быть восстановлена без погрешности по своим отсчетным значениям , взятым с интервалом:

. (1.6)

Функция выражается через с помощью ряда:

.

Рис. 1.6. АЧХ основных типов фильтров

Устройством, в котором реализуется это вычисление, может служить идеальный ФНЧ с частотой среза .

Следовательно, надо выбрать таким образом, чтобы циклическая частота дискретизации была заведомо выше в 2 раза, чем самая высокая частота входного сигнала (смесь полезного сигнала и помехи) и передаточной функции системы, что обеспечит отсутствие помех.

Изображения по Фурье сигналов или передаточные функции систем, дискретизированных по времени с периодом , являются периодическими функциями циклической частоты с периодом :

. (1.7)

4.Выполним дискретизацию импульсной характеристики:

. (1.8)

5. Выбрать длину КИХ-фильтра N.

Импульсная характеристика на рис. 1.5б начинается слева от нуля, что невозможно реализовать, т.к. невозможно реагировать на то, что еще не произошло. Для преодоления этой трудности необходимо внести запаздывание, т.е. сдвинуть импульсную характеристику вправо, но она бесконечна во времени в обоих направлениях, значит необходимо усечь импульсную характеристику до разумного числа точек N, как показано на рис. 1.5в. Ограничение импульсной характеристики эквивалентно ее умножению на одиночный прямоугольный импульс шириной , что соответствует свертке исходной передаточной функции и изображения одиночного прямоугольного импульса. АЧХ фильтра, изображённая на рис. 1.5г, отражает влияние волн Гиббса и боковых лепестков.

Значение N определяется следующими соображениями:

• если выбрать N очень большим, то реализация КИХ-фильтра будет требовать значительных объемов памяти и вычислительных ресурсов, будет вноситься значительное запаздывание, равное , в его функционирование;

• если выбрать его маленьким, то АЧХ фильтра будет иметь слишком большое влияние боковых лепестков.

6.Следующий шаг в процессе проектирования состоит в применении к усеченной импульсной характеристики соответствующей весовой (кадрирующей, оконной) функции, как показано на рис. 1.5д.

Окно  – весовая функция, которая используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках (растеканием спектра). Конечную последовательность отсчетов можно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Умножение на непрямоугольное окно способствует уменьшению волн Гиббса и влияния боковых лепестков АЧХ. Окном может быть четная неотрицательная колоколообразная (прямоугольная или треугольная) функция, определенная на интервале , равная нулю за пределами этого интервала и обладающая следующим свойством:

. (1.9)

Примеры весовых функций приведены в таблице 1.1 (N – нечетное число). Весовая функция приписывает больший вес сглаживаемому наблюдению, находящемуся в центре окна и меньшие веса значениям по мере удаления от центра.

Выбранная весовая функция определяет спад и характеристики боковых лепестков фильтра. Коэффициенты КИХ-фильтра вычисляются по формуле:

, (1.10)

АЧХ фильтра с усеченной импульсной характеристикой, умноженной на оконную функцию (рис. 1.5е), представлена на рис. 1.5ж.

Таблица 1.1.

Весовые функции и их характеристики

Тип окна	Кадрирующая функция	Ширина полосы пропускания 	Импульсная характеристика и частотный отклик, среднее значение B	Минимальное затухание в полосе запирания, дБ
Окно Даниэля (Daniell, 1946), прямоугольное (равные веса).	1		B=1.00	21
Окно треугольное с ненулевыми конечными отсчетами	, ,		B=1.33	25
Окно Бартлетта (треугольное с нулевыми конечными отсчетами) (Bartlett, 1950)	или , ,		B=1.33
Окно Тьюки (Blackman and Tukey, 1958) или Тьюки-Ханна (Hanning) (названное в честь Julius Von Hann) (рельефный косинус)	или ,		B = 1.50	44
Окно Хемминга или Тьюки-Хемминга (Blackman and Tukey, 1958) (названное в честь R. W. Hamming) (рельефный косинус)	Или ,		B=1.37	53
Окно Тьюки (коническое косинусное окно)	При α=0 переходит в прямоугольное окно, при α=1 - в окно Ханна.		α=0.5; B=1.22
Косинусное (синусное) окно			B=1.24
Окно Lanczos			B=1.31
Окно Блэкмана	При α = 0.16		α = 0.16; B=1.73	74
Окно Парзена. (Parzen, 1961)	,
Окна Гаусса	, ,		σ=0.4; B=1.45
Окно Бартлетта-Ханна			B=1.46
Окно Nuttall			B=2.02
Окно Blackman–Harris			B=2.01
Окно Blackman–Nuttall			B=1.98
Окно Кайзера	–модифицированная функция Бесселя нулевого порядка		α =2; B=1.5 α =3; B=1.8
Окно Flat top			B=3.77