- •Высшая математика
- •Введение
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы
- •1.Неопределенный интеграл
- •Непосредственное интегрирование.
- •Интегралы вида .
- •Интегралы вида
- •Основные методы вычисления определенных интегралов
- •Формула Ньютона – Лейбница.
- •2.Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Приложения определенных интегралов
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Уравнение вида .
- •Уравнение вида .
- •4. Линейные дифференциальные уравнения - го порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность функции
- •Частные производные. Дифференциал функции
- •Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремумы функции нескольких переменных
- •Оглавление
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы………….…3
- •3. Несобственные интегралы ……………………………………………….15
- •4. Приложения определенных интегралов ………………………………...17
- •Глава II. Дифференциальные уравнения ……………………………...18
- •Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ……………………………………………………………………31
5. Системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами второго порядка:
(33)
Здесь - постоянные числа, - неизвестные функции.
Решением системы (33) называется совокупность непрерывно дифференцируемых функций , обращающих уравнения системы (33) в тождества.
Общим решением системы (33) называется совокупность непрерывно дифференцируемых функций , где - произвольные постоянные, удовлетворяющих двум условиям:
при любых значениях постоянных и функции являются решениями системы (33);
любое решение системы (33) может быть получено из функций при соответствующих значениях постоянных и .
Рассмотрим один из методов решения систем дифференциальных уравнений – метод исключения.
Продифференцируем одно из уравнений системы (33) по (например, первое уравнение). Получим:
. (34)
Подставим в уравнение (34) значение из второго уравнения системы (33): (35)
Далее, из первого уравнения системы (33) находим значение
. (36)
и подставим его в уравнение (35). В результате получим уравнение:
. (37)
Уравнение (37) - линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией . Методы интегрирования ЛОДУ рассмотрены в предыдущем пункте. Пусть общее решение ЛОДУ (37) имеет вид:
(38)
где - произвольные постоянные.
Подставляя функции и в формулу (36), находим вторую искомую функцию:
. (39)
Совокупность формул (38) и (39) дает общее решение системы (33):
Задание. Решить систему:
Решение. Для данной системы . Следовательно, чтобы найти функцию , надо решить уравнение (см. (37)):
. (40)
Характеристическое уравнение для ЛОДУ (40) имеет вид:
Его корни . Следовательно, общее решение уравнения (40) имеет вид:
. (41)
Далее, чтобы найти функцию воспользуемся выражением (36). Имеем:
. (42)
Совокупность формул (41) и (42) дает общее решение исходной системы: