- •Раздел 1. Деревянные конструкции Задание. Исходные данные
- •1 Область применения
- •4 Материалы
- •5 Расчетные характеристики материалов
- •Примеры решения
- •3. Расчетные характеристики материалов
- •4. Расчет элементов деревянных конструкций
- •Центрально-растянутые и центрально-сжатые элементы
- •Элементы, подверженные действию осевой силы с изгибом Расчетные длины и предельные гибкости элементов деревянных конструкций
- •Приложение в (обязательное) Нормативные и временные сопротивления элементов дк из древесины сосны, ели и древесины из однонаправленного шпона (lvl)
Примеры решения
Задача 1. Найти несущую способность растянутого элемента. Исходные данные: h = 200мм; b = 150мм; а=120мм; с=300мм; d=16мм; материал - лиственница; сорт древесины 1; условия эксплуатации А1.
Рис. 1
Решение. Несущую способность элемента при заданных условиях задачи вычисляем по формуле
N = т0 тп тв R р Aнт
где т0 - коэффициент, учитывающий наличие ослаблений, равен 0,8;
тп - коэффициент перехода на породу дерева, для лиственницы равен 1,2 [1, табл. 4];
т в - коэффициент, учитывающий условия эксплуатации (группу конструкций), равен 1,0 [1, табл.5];
Rр - расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), принимается по [1, табл. 3 п. 2. а] и равно 10 МПа.
Для вычисления Aнт выбираем самый опасный участок, где на расстоянии 200 мм имеет место наибольшая площадь ослаблений (не попадающих при перемещении вдоль волокон одно на другое). Такой участок будет на участке с отверстиями 1, 2 и 3.
Ант = bh - 3db= 20•15 - 3•1,6•15 = 228 см2.
Несущая способность растянутого элемента
N = 0,8•1,2•1,0•10•0,0228 = 0,21888 мН = 218,88 кН.
Задача 2. Найти несущую способность центрально-сжатого стержня
Исходные данные: h = 200мм; b = 150мм; а=150мм; ℓ =3000мм; d=40мм; материал - пихта; сорт древесины 2; условия эксплуатации А3; условия закрепления концов стержня в плоскостях х-х и у – у: шарнирное (Ш-Ш).
Рис. 2.
Решение. Несущая способность центрально-сжатого стержня с учетом его устойчивости подсчитывается по формуле
N =φ тп тв Rс Aрасч
где тп = 0,8 [1, т.4]; тв = 0,9 [1, т.5];
Rс = 13 МПа (для сосны второго сорта) Поскольку сечение ослаблено отверстием d= 40 мм, площадь ослабления равна
Аосл = dh= 4•20 = 80 см2. что составляет 100 %•80/20•15 = 26,7 % > 25 %.
Расчетная площадь сечения при проверке устойчивости
Арасч = (4/З) Ант = (4/3)(300-80) = 293 см2.
Для определения коэффициента φ подсчитаем гибкость элемента:
λх = μоℓ/0,289 b = 1,0•300/0,289•15 = 69,2
λу = μоℓ/0,289 h = 1,0•300/0,289•20 = 51,9
Расчет ведем на большую гибкость λх = 69,2
Для гибкости λ<70 определяем коэффициент φ
φ ═ 1-0,8(λ/100)2 ═ 1-0,8(69,2/100) 2=0,617
Несущая способность стержня
N = 0,617•0,0293•0,8•0,9•13= 0,1692 мН = 169,2кН.
Задача 3. Проверить несущую способность центрально-сжатого стержня. Исходные данные: N = 100Кн; h = 225мм; b = 150мм; с=20мм; ℓ =4000мм; материал - сосна; сорт древесины 2; условия эксплуатации А1, условия закрепления концов стержня в плоскости х-х: защемление и шарнирное опирание (З-Ш) и в плоскости у – у: шарнирное опирание (Ш-Ш).
Рис. 3.
Решение. Проверка несущей способности центрально-сжатого стержня производится по формуле
N =φ тп тв Rс Aрасч
Для рассматриваемого варианта тп = 1,0;
тв = 1,0;
Rс = 13 мПа.
Сечение имеет симметричное ослабление, выходящее на кромку сечения. Для такого стержня
Aрасч = Ант =(15•22,5) - 2•2•15 = 49,2 см2
Гибкость стержня
λх = μоℓ/0,289 b = 1,0•400/0,289•22,5 = 69,2
λу = μоℓ/0,289 h = 1,0•400/0,289•15 = 92.3
Наибольшая гибкость λу = 92.3 > 70, для нее коэффициент продольного изгиба
φ ═ 3000/ λ2 ═ 3000/
Проверка несущей способности стержня:
N = 100 кН < φ тп тв Rс Aрасч = 0,352•0,02775•1,0•1,0•13000 = 126,98 кН.
Вывод: несущая способность стержня достаточна.
ИЗГИБАЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Основные расчетные проверочные формулы поперечно изогнутых элементов следующие:
Ϭ ═ М/Wнт ≤ Rи;
τ ═ QS/Jb≤ Rск или 1,5Q/bh - для прямоугольного сечения;
М/Wбр ≤ φм Rи; где φм ═ 140 kф b/hℓр;
f/ℓ ≤ |f/ℓ|
В написанных формулах приняты следующие обозначения:
М - изгибающий момент в проверяемом сечении;
Q- поперечная сила;
J - момент инерции поперечного сечения;
Wнт - момент сопротивления нетто проверяемого сечения;
S- статический момент сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси;
b, h - размеры поперечного сечения;
kф - коэффициент, учитывающий форму эпюры изгибающих моментов на участке ℓр, принимается по [1, при л. 4, табл.2];
Rи, Rск - расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), принимается по [1, табл. 3 п. 2. а];
Прогиб балки не должен превышает предельной величины, установленной [1, табл.16].
Задача 4. Проверить прочность и прогибы балки прогона цельного прямоугольного сечения. Исходные данные: qн = 10Кн/м; h = 225мм; b = 150мм; а=1000мм; ℓ =4000мм; материал - сосна; сорт древесины 2; условия эксплуатации А1. Рис 4.
Решение. Предварительно находятся величины:
Мпр = q/2(ℓ2/4-а2) = 10/2(42-12) = 15кНм;
Моп = q а2/2 = 10•12/2 = 5кНм;
Qпр = qℓ/2= 10•4/2 = 20кН;
Qоп = qа= 10•1 = 10кН;
Wнт = bh2/6 = 15•22.52/6 = 1265,625 см2 (ослаблений нет);
S= bh2/8 =15•22,52/8 = 949,22 см2;
J = bh3/12 =15•22,53/12 = 14238,281 см2.
Rи = 14 МПа; Rск =1,6 МПа.
Проверка прочности:
Ϭ ═ М/Wнт =15•103/1265,625 = 11,85 МПа < Rи = 14 МПа;
τ ═ QS/Jb =20•10•949,22 /14238,281•15 = 0,89 МПа < Rск = 1,6 МПа.
Прочность обеспечена.
Полный прогиб
fо= qа(ℓ3 – 6а2ℓ-3а3)/24ЕJγf = 10•1•10 (43- 6•12•4 - 3•13)/24•105•14238,28•1,2 = 0,902 см;
где
Е = 104МПа = 105кгс/см2 [1,п. 3.5. – модуль упругости древесины вдоль волокон].
γf=1,2 – усредненный коэффициент перехода к расчетам по 2-му предельному состоянию.
fпр = qℓ2(5/8ℓ2 -3а3)/48ЕJγf = 10•42 •105(5/8 •42 - 3•13)/48•105•14238,28•1,2
=1,366 см;
Проверка прогибов: f/ℓ = 1,366/400 = 1/293 < [1/200]
Прогиб балки не превышает предельного [1, табл.16].
Задача 5. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения балки. Исходные данные: qн = 13 кН/м; а=1100мм; ℓ =4500мм; материал - ясень; сорт древесины 2; условия эксплуатации В1. Рис 4.
Сечения принимать согласно сортаменту пиломатериалов.
Решение. Предварительно находятся величины:
Мпр = q/2(ℓ2/4-а2) = 13/2(4,52-1,12) = 25,04 кНм;
Моп = q а2/2 = 13•1,12/2 = 7,865 кНм;
Qпр = qℓ/2= 13•4,5/2 = кН;
Qоп = qа= 13•1,1 =14,3кН;
Находится требуемый момент сопротивления:
Wтр ═ М/ Rи тв = 25,04•104/13•1,3•10 = 1481,66 см2;
где Rи = 13 МПа [1, табл. 3 п. 1. а];
тп = 1,3 для ясеня [1, табл. 4 п. 6].
Задаемся шириной сечения b = 15 см. Тогда требуемая высота сечения
hтр = √ 6W/ b = √ 6•1481,66/15 = 24,34 см ≈ 25 см.
Принимаем сечение = 15 х 25 см (см. табл.3 приложения 1).
Момент сопротивления принятого сечения
W = bh2/6 = 15•252/6 = 1562,5 см3.
Проверка прочности:
Ϭ ═ М/W=25,04•103/1562,5 = 16,03 МПа < Rитп = 13•1,3 = 16,9 МПа;
τ ═ QS/Jb = 1,5Q/bh (для прямоугольного сечения),
где Q - максимальная поперечная сила,
τ = 1.5•29,25•10/15•25 = 1,17 МПа < Rсктп = 1,6•1,3 = 2,56 МПа;
где Rск= 1,6 МПа [1, табл. 3 п. 5. а];
тп = 1,3 для ясеня [1, табл. 4 п. 6].
Прочность обеспечена.
Приложение 1
Сортамент пиломатериалов (ГОСТ 8486 - 86*Е) табл. 3
Толщина, мм |
Ширина, мм |
||||||||
16 |
75 |
100 |
125 |
150 |
- |
- |
- |
- |
- |
19 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
- |
- |
- |
- |
22 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
- |
- |
25 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
32 |
75 |
100 |
125 |
150 |
17.5 |
.200 |
225 |
250 |
275 |
40 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
44 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
60 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
75 |
75 |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
100 |
- |
100 |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
275 |
125 |
- |
- |
125 |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
- |
150 |
- |
- |
- |
150 |
175 |
200 |
225 |
250 |
- |
175 |
- |
- |
- |
- |
175 |
200 |
225 |
250 |
- |
200 |
- |
- |
- |
- |
- |
200 |
225 |
250 |
- |
250 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
250 |
- |
Приложение 2
Формулы для определения максимальных прогибов:
f= Рℓ3/3ЕJ – консольная балка
f= qℓ4/8ЕJ - консольная балка
f= Рℓ3/48ЕJ –балка на двух опорах
f= 5qℓ4/384ЕJ - балка на двух опорах
Приложение 3
Рис. 4 Рис. 5
Рис. 6 Рис. 7
Рис. 8