3. Явление дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция от щели и решетки
Дифракцией называется отклонение света от прямолинейного распространения, огибание волнами препятствий. Дифракция заметна, если размеры препятствий сравнимы с длиной волны. Дифракция света всегда сопровождается интерференцией - чередованием светлых и темных мест для монохроматического света и цветных (все цвета радуги) - для белого света. Дифракция объясняется на основе принципа Гюйгенса-Френеля: каждая точка, до которой дошло возмущение, сама становится источником вторичных волн; вторичные волны когерентны; волновая поверхность в любой момент времени является результатом интерференции вторичных волн.
Различают два частных случая дифракции. Дифракцией Френеля называют дифракцию в сходящихся и расходящихся пучках. Дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах. Условие параллельности падающих и дифрагированных лучей можно выполнить, помещая источник света и экран, на котором наблюдается картина дифракции, на большом удалении от препятствия, либо используя линзу, которая может преобразовать расходящийся пучок света в параллельный.
В 1690 г. Гюйгенсом был предложен способ находить положение волнового фронта1 в последующие моменты времени по его положению в данный момент.
Этот способ известен как принцип Гюйгенса и может быть сформулирован следующим образом: каждую точку волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных элементарных сферических волн, распространяющихся в переднюю часть полупространства; новое положение волнового фронта совпадает с огибающей элементарных волн.
В
а б в
Рис.
6. Применение принципа Гюйгенса к
построению волновых фронтов: а
– плоский фронт; б
– сферический фронт, в
– дифракция на отверстии в экране
Принцип Гюйгенса позволяет лишь качественно изобразить картину дифракции. Френель дополнил принцип Гюйгенса положением о когерентности вторичных волн. Он предложил учитывать также мощность излучения вторичных источников. Принципом Гюйгенса-Френеля называют совокупность следующих утверждений.
1. Любой реальный источник света S0 можно заменить системой фиктивных вторичных источников и возбуждаемых ими вторичных волн. В качестве этих источников можно выбрать малые участки волновой поверхности, охватывающей источник.
2. Вторичные источники, эквивалентные одному и тому же источнику S0, когерентны.
3. Мощности равных по площади вторичных источников, расположенных на волновой поверхности, одинаковы.
4
Рис. 7. Построение
кольцевых зон на сферической волновой
поверхности
Для упрощения расчета картин дифракции Френелем был предложен метод зон. Сущность метода зон Френеля рассмотрим на примере определения амплитуды электрического поля сферической волны, возбуждаемой точечным источником S0 (рис. 7). Френель предложил разбивать сферическую волновую поверхность на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки наблюдения Р отличались на половину длины волны (напомним, что на волновой поверхности колебания происходят в одинаковой фазе). При таком разбиении каждому малому участку одной зоны найдется соответствующий участок соседней зоны, расстояния которых до точки наблюдения будут отличаться на /2, и волны от этих участков будут приходить в точку наблюдения в противофазе и ослаблять друг друга. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые в точке Р соседними зонами, будут противофазными, т.е. отличаться на . Несложный расчет позволяет найти выражения для радиусов зон Френеля в зависимости от длины волны , радиуса волновой поверхности а и расстояния b от волновой поверхности до точки наблюдения (рис. 7):
, (3)
где m – номер зоны Френеля.
Изменение фазы на противоположную можно представить как изменение знака амплитуды на противоположный, поэтому если амплитуду волны, пришедшей в Р от первой зоны Френеля, обозначить через Е1, то амплитуде волны, пришедшей от второй зоны, нужно приписать знак минус и обозначить ее как – Е2. Знак амплитуды волны от третьей зоны нужно снова сменить на противоположный. Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке Р может быть найдена как алгебраическая сумма амплитуд волн от всех зон Френеля:
(4)
Как показывает расчет, площади построенных таким образом кольцевых зон примерно одинаковы. Однако из-за увеличения угла между нормалью к участкам поверхности зон и направлением на точку наблюдения абсолютные значения амплитуд монотонно уменьшаются с возрастанием номера зоны: Если записать предыдущее выражение в виде:
, (5) то, считая, что выражения в скобках равны нулю, а число зон велико, получим, что результирующая амплитуда волны в точке наблюдения равна половине амплитуды волны от первой зоны:
.
Отсюда следует кажущийся парадоксальным вывод: если на пути света поставить экран Э с малым отверстием, открывающим только первую зону, то амплитуда волны в точке наблюдения возрастет в 2 раза, а интенсивность - в четыре1. Если отверстие в экране Э открывает две зоны, то в точке наблюдения произойдет наложение в противофазе волн от первой и второй зон и амплитуда будет очень малой. Таким образом, при дифракции Френеля на круглом отверстии в центре геометрической тени будет максимум или минимум в зависимости от числа открываемых этим отверстием зон Френеля (рис. 8).
а б
Рис. 8. Картины дифракции на круглом
отверстии:
а – четное число
открытых зон (в центре темное пятно);
б – нечетное открытое число зон
(в центре максимум)
Если на пути луча света поставить непрозрачный диск, закрывающий не очень большое целое число зон Френеля, то в центре геометрической тени всегда будет максимум светлое пятно, независимо от того, какое число зон закрыто четное или нечетное. Действительно, если записать для данного случая результирующую амплитуду в т. Р (рис.7) в виде, аналогичном формуле (8), начиная с амплитуды m-ной зоны, получим: . На рис. 9 представлена тень от малого диска, освещаемого лазером. В центре наблюдается светлое пятно (пятно Пуассона). Видно также, что за пределами геометрической тени наблюдаются светлые и темные кольца. Это также результат дифракции на различных участках диска.
Отметим, что описываемые выше явления наблюдаются только при выполнении некоторых условий: свет должен быть монохроматическим; центр отверстия (диска) должен находиться на прямой, соединяющей источник с точкой наблюдения; края преграды должны быть гладкими (царапины должны быть меньше ширины ближайшей открытой зоны). Для выполнения последнего условия на отверстии (диске) должно укладываться небольшое число зон Френеля, так как ширина кольцевой зоны уменьшается с увеличением ее номера.
М
Рис. 9.
Дифракционная тень от диска
Рис.
5.7
Таким образом, при увеличении угла дифракции можно последовательно разбивать площадь щели на четное и нечетное число зон. Общее условие максимумов (кроме нулевого) при дифракции от щели имеет вид:
, (5.3)
а условие минимумов:
, (5.4)
Рис. 5.8
Дифракционной решеткой называют совокупность большого числа щелей, расположенных на равных расстояниях друг от друга, разделенных непрозрачными промежутками (рис. 5.9). Каждая щель является источником когерентных вторичных волн. Значения углов, определяющих направления на дифракционные максимумы спектра, получаемого с помощью решетки, находятся из соотношения: , (5.5)
Рис. 5.9
Дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр. С ее помощью можно производить очень точные измерения длины волны
1 волновой фронт – это поверхность, разделяющая области пространства, до которых еще не дошло волновое возбуждение, от областей, вовлеченных в волновой процесс. Волновая поверхность – геометрическое место точек, колебания в которых происходят в одной фазе. По сути, волновой фронт – это самая первая волновая поверхность.
1 Ограничение светового пучка малым отверстием приведет к затемнению плоскости, в которой находится т. Р. Увеличение амплитуды происходит лишь в т. Р и в малой области вблизи нее.