2.2. Масштаб

Одним из основных понятий плана и карты является понятие масштаба.

Определение. Масштабом называется отношение длины линии d на плане или карте к длине горизонтальной проекции D той же линии на местности.

Горизонтальной проекцией D (рис.2.1) называется ортогональная проекция линии AB местности на горизонтальную плоскость.

Согласно определению масштаб равен d:D. Обычно это выражение записывают в виде простой дроби 1:D/d = 1:М и тогда ее знаменатель М означает степень уменьшения. Например, для масштабов 1:500; 1:1000; 1:2000 степень уменьшения составляет соответственно 500, 1000 и 2000 раз. Такой масштаб называется численным.

При откладывании линий на плане возникает вопрос о минималь­ном отрезке, который можно отложить или измерить без применения увеличительных приборов. Из опыта установлено, что человеческий глаз в среднем способен различить минимальный отрезок на бумаге длиной 0,1 мм. Такой размер имеет диаметр точки, полученный от накола остро отточенной иглой на листе ватмана. Этому минимальному расстоянию на планах различных масштабов соответствуют различные расстояния на местности. Например, для плана масштаба 1:500 0,1 мм соответствует на местности горизонтальному расстоянию

D = 0,1 мм  500 = 0,05 м.

Определение. Длина горизонтальной линии D на мест­ности, соответствующая 0,1 мм на карте или плане данного масштаба, называется точностью данного масштаба.

В связи с этим возникает вопрос как достичь на бумаге графи­ческой точности 0,1 мм. Заметим, что обычная линейка с ценой деле­ния 1 мм может обеспечить точность 0,5 мм. Высокая графическая точность достигается с помощью специальной линейки, которая назы­вается поперечным масштабом (рис.2.2).

Произвольный отрезок а называется основанием масштаба. Ос­нования АВ и СD делят на 10 равных частей и точки деления сое­диняют наклонными прямыми, как показано на рисунке. Отрезки AС и BD также делят на 10 равных частей и точки деления соединяют парал­лельными горизонтальными прямыми.

В результате такого построения

AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = … =0,1a ;

E₁B₁ = 0,01a , E₂B₂ = 0,02a , … , E₉B₉ = 0,09a .

Например, длина отрезка KM равна a + a + 0,2a + 0,04а = 2,24a. Обычно длину отрезка a берут равной 2 см. Тогда длина линии KM на плане масштаба 1:500 будет соответствовать горизонтальной линии на местности длиной 2,24  2 см  500 = 22,4 м. Тот же отрезок на плане масштаба 1:1000 соответствует на местности D = 2,24  2 см  1000 = 44,8 м.

2.3. Понятие о картографической проекции Гаусса-Крюгера

Поверхность земного шара разделим меридианами на шестиградусные зоны, начиная от Гринвичского меридиана, и пронумеруем их в направлении к востоку от 1 до 60. В каждой зоне проведем централь­ный (осевой) меридиан (рис.2.3).

В

E D

C

пишем земной шар в цилиндр. Повернем его так, чтобы осевой меридиан 1-ой зоны касался цилиндра и перенесем все точки зоны на цилиндр согласно закону проекции Гаусса-Крюгера. Этот закон в об­щем виде можно записать так:

( 7 )

Пояснения к формулам (7) дадим позднее. Затем точно так же рядом спроектируем 2-ю, 3-ю,..., 60-ю зоны. После проектирования всех зон цилиндр мысленно разрезается по линиям АА' и ВВ' и разворачи­вается на плоскость (рис.2.4) .

В каждой зоне вводится прямоугольная система координат. За ось X принимается изображение осевого меридиана, а за ось Y - изоб­ражение экватора.

Закон проектирования (7) надо понимать так: для любой точки С зоны на шаре с географическими координатами _С , _С вычисляют по формулам (7) плоские прямоугольные координаты Х_С , Y_C точки С той же зоны, но уже на плоскости. Эта картографическая проекция была разработана Гауссом при условии сохранения равенства углов на сфере и на плоскости. Как было указано выше, поверхность сферы нельзя изобразить на

плоскости без искажений. Поэтому в проекции Гаусса искажения тоже существуют, но только линейные. Для отрезка 1-2 длиною S (рис.2.4) с координатами (X₁ , Y₁) и (X_{2 ,}Y₂) искажение ΔS имеет вид:

г де , R - радиус земного шара.

Для осевого меридиана S = 0, так как Y₁ + Y₂ = 0 . Следовательно, осевые меридианы изобразятся в этой проекции без искажений. Наибольшей величины линейные искажения достигают на краю зоны вдоль экватора. Относительная ошибка S/S здесь равна 1/800. Для территории России, лежащей севернее экватора, максимальные искаже­ния равны 1/1100. Для карт масштаба 1:10 000 и мельче такими искаже­ниями можно пренебречь. Для карт более крупных масштабов применяют проекцию Гаусса с делением на трехградусные зоны, что позволяет вновь не учитывать линейные искажения. Итак, несомненными достоин­ствами рассмотренной проекции являются:

1. Сохранение равенства углов на сфере и плоскости.

2. Линейные искажения малы и ими пренебрегают.

3. Все меридианы и параллели можно изображать прямыми линия­ми, пренебрегая их малой искривленностью при изображении на плоскости.

4. В пределах одной зоны масштаб можно считать постоянной величиной.

Для удобства пользования введенной системой координат внутри каждой зоны наносится координатная сетка (система линий, парал­лельных координатным осям) (рис.2.4, 60-я зона). Для карт масштабов 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000 эти линии проводят через 1 км.

Для территории России, лежащей к северу от экватора, коорди­ната Х любой точки всегда положительна. Координаты же Y в каж­дой зоне могут быть и положительны и отрицательны. Чтобы сделать ординаты тоже всегда положительными, начало координат в каждой зо­не отнесли влево на 500 км. Тогда ось ОХ' выйдет за пределы зоны (рис.2.4, 59-я зона) и координаты Y всех точек зоны будут положи­тельными. Эти координаты называются преобразованными.

Для отличия зон друг от друга всегда указывается их номер, который ставится перед координатой Y . Например, Y_C = 7 421 356 м. Это означает, что точка С находится в зоне №7 и удалена от осе­вого меридиана на

421 356 м - 500 000 м = - 78 644 м.

Знак "минус" говорит об удалении к западу.