Относительное изменение объема.

Как известно, при деформации происходит изменение формы и объема тела. Рассмотрим относительное изменение объема тела при деформировании. Объем элементарного прямоугольного параллелепипеда до деформации .

При деформировании длина каждого ребра может измениться на некоторую величину D и объем того же параллелепипеда после деформирования будет .

Тогда относительное изменение объема может быть вычислено следующим образом:

.

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с e (e·e ≈ 0, e·e·e ≈ 0), получим .

, , ,

Подставляя e из обобщенного закона Гука, получим

.

Учитывая, что , запишем выражение для q в виде

.

Из формулы видно, что при положительных направлениях главных напряжений относительное изменение объема может быть положительной величиной, если только коэффициент Пуассона будет μ < 0,5. Таким образом, получается, что для всех существующих в природе материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах и для большинства конструкционных материалов он равен 0,2…0,3.

Также можно отметить, что если коэффициент Пуассона равен 0,5, то относительное изменение объема равно нулю. Резина имеет n ≈ 0,5 , следовательно, при приложении нагрузки её объём практически не меняется, она ведет себя как несжимаемая жидкость. Это свойство резины часто используется в экспериментальной практике.

Определим также относительное изменение объема при чистом сдвиге.

Так как при чистом сдвиге , то .

Таким образом, относительное изменение объема при чистом сдвиге равно нулю.

4.9. Допущения, применяемые в сопротивлении материалов

При построении теории сопротивления материалов принимают некоторые допущения относительно структуры и свойств материалов, а также о характере деформаций.

Основные допущения:

1. Материал конструкции однороден (его свойства не зависят от величины выделенного объема) и изотропен (свойства не зависят от направления рассмотрения).

2. В пределах малых величин деформации материала подчиняются закону Гука. При расчетах применим принцип независимости действия сил.

3. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструк­ций обладает абсолютной упругостью, т.е. геометрические размеры тела полностью восстанавливаются после снятия нагрузки.

4. Перемещения, возникающие под действием внешних сил в упругом теле, малы по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции.

5. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагрузки.

6. Плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации (гипотеза плоских сечений Бернулли).

7. Ненагруженное тело свободно от внутренних сил любой природы.

4.10. Общие принципы расчета конструкции. Теории прочности

Под предельным опасным напряженным состоянием понимается такое, при котором происходит качественное изменение свойств материала - переход от одного механического состояния к другому. Для пластичных материалов предельным обычно считается напряженное состояние, соответствующее возникновению заметных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала. Предельное состояние материала допустить нельзя, поэтому при расчете на прочность ориентируются на так называемое допускаемое состояние, которое соответствует нагрузке, полученной путем деления нагрузки, вызывающей предельное состояние, на некоторый коэффициент запаса. Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то они называются равноопасными. Для сравнения различных напряженных состояний за эталон (эквивалент) принято простое растяжение (сжатие) с главным напряжением .

Эквивалентное напряжение - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно заданному напряженному состоянию. Условие прочности записывается в виде .

Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в предельное состояние.