4 Используя свойства пределов, известные пределы, предел , вычислить :
№
|
A |
B |
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4.1 |
0 |
|
1 |
|
4.2 |
∞ |
|
1 |
|
4.3 |
+∞ |
|
1 |
|
4.4 |
0 |
|
0 |
|
4.5 |
|
|
2 |
|
4.6 |
0 |
|
0 |
|
4.7 |
e |
|
|
|
4.8 |
1 |
|
∞ |
|
4.9 |
0 |
|
2 |
|
4.10 |
0 |
|
|
|
4.11 |
0 |
|
∞ |
|
4.12 |
2 |
|
+∞ |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4.13 |
0 |
|
|
|
4.14 |
0 |
|
1 |
|
4.15 |
0 |
|
0 |
|
4.16 |
3 |
|
e |
|
4.17 |
0 |
|
2 |
|
4.18 |
7 |
|
0 |
|
4.19 |
+∞ |
|
2 |
|
4.20 |
1 |
|
2 |
|
Решение типовых примеров
1.20 Используя свойства пределов и известные пределы, вычислить
А)
;
В)
;
С)
.
Решение.
А) Приведя к общему знаменателю выражение, стоящее под знаком предела, получим
.
B)
Положим
.
Тогда, учитывая, что при
,
получим
.
C) Домножая числитель и знаменатель функции на сопряженные выражения, будем иметь:
.
Здесь мы
воспользовались тем, что при
,
и равенствами:
;
,
которые доказываются, например, по
определению. Можно опереться на
равенство
,
которое также следует из определения
предела.
2.20 Используя свойства пределов и первый замечательный предел, вычислить
А)
;
В)
.
Решение.
А)
Сделаем замену
.
Тогда
.
Это следует из
того, что
.
Действительно,
.
Поэтому для
такое, что из неравенства
,
т.е.
.
B)
Сделаем замену
.
Тогда
,
так как из первого замечательного предела следует, что
,
.
3.20 Используя свойства пределов, второй замечательный предел и равенства , , вычислить
А)
;
В)
.
Решение.
А) Преобразовывая функцию, будем иметь:
.
В) Произведя преобразования, получим
.
Здесь воспользовались равенством из условия, свойствами предела и вторым замечательным пределом.
4.20 Используя свойства пределов, известные пределы, предел , вычислить:
А)
;
В)
.
Решение.
А) Преобразовывая функцию, будем иметь:
.
Мы воспользовались
тем, что
и равенствами из предыдущей задачи.
B). Преобразовав функцию, получим
.
Найдем первый из пределов произведения:
.
Вычислим второй предел:
.
Итак,
.
Лабораторная работа № 9
Асимптотическое поведение функций. Вычисление пределов
Необходимое
понятие и теоремы:
бесконечно малые функции при
,
сравнение бесконечно малых функций,
асимптотические равенства, эквивалентные
бесконечно малых, применение асимптотических
равенств для вычисления пределов.
Литература: [1] с. 181-184, 216-218, [2] с.72-77, [6] с. 102-105, 136-137.