Теоретическое определение величин «лишних» неизвестных

Теоретическое определение опорной реакции С в балке на рис.15.1, а, и опорного момента в заделке балки, представленной на рис.16.1, а, студентам предлагается выполнить самостоятельно. При этом рекомендуется применять метод сил в канонической форме, как это было показано в "Исходных положениях". Решение надо сопровождать построениями, аналогичными представленным на рис. I. Перемещения и определять по формуле Мора – Верещагина, используя эпюры изгибающих моментов и .

Сравнение результатов и выводы

В каждой лабораторной работе определяется в процентах расхождение между опытным и теоретическим значениями соответствующих реакций.

В выводах необходимо отразить, хорошо ли согласуются полученные теоретические значения неизвестных с экспериментальными данными.

Контрольные вопросы.

1. Какие системы называют статически неопределимыми?

2. Чему равна степень статической неопределимости системы?

3. Дайте определение понятию "лишних" связей?

4. Какова последовательность проведения опыта?

5. Какой метод использовался для теоретического определения опорной реакции? (чем обусловлено название этого метода?)

6. Какая основная система была избрана для теоретического определения искомой опорной реакции?

7. Какую природу имеют лишние неизвестные?

Лабораторная работа №17.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАЗОРА МЕЖДУ БАЛКОЙ И ОПОРОЙ

Цель работы: экспериментально установить влияние зазора между балкой и опорой на величину опорной реакции и перемещения характерных сечений балки с возрастанием действующей на нее нагрузки; сопоставить опытные и теоретические результаты.

Исходные положения

Заданная система - упругая балка, защемленная одним концом, которая должна опираться на промежуточную опору. В результате неточности монтажа (или износа контактной поверхности опоры) между балкой и опорой образовался зазор (рис.17.1,а). В этих условиях заданная система в одном диапазоне рабочих нагрузок F оказывается статически определимой (балка не соприкасается с опорой), а в другом диапазоне рабочих нагрузок становится статически неопределимой (балка соприкасается с опорой и возникает сила реакции R_В). Смена расчетных схем при рабочих нагрузках приводит к кусочно-линейной зависимости "сила – перемещение" и сопровождается, как правило, существенным перераспределением внутренних усилий, напряжений, что может быть причиной опасного состояния конструкции.

Рис. 17.1

Последовательность проведения опыта.

1) При нагрузке F, меньшей некоторого значения F₁, заданная система статически определимая. Контролируемые сечение свободного конца А балки и сечение В над промежуточной опорой получат перемещения v_A и v_B, которые находятся по показаниям стрелочных индикаторов (рис.17.1,б). При F=F₁ заданная система деформируется так, что сечение В совершит максимальное вертикальное перемещение v_B, равное зазору , т.е. произойдет соприкосновение поверхностей балки и промежуточной опоры без возникновения силы реакции R_В. Таким образом, опытное значение силы F₁ фиксируется при показании индикатора вертикального перемещения сечения В, равным зазору, т.е. v_В= .

2) При нагрузке F>F₁ заданная система становится статически неопределимой, т.к. включается в работу промежуточная опора В, как "лишняя" связь и возникает сила реакции R_В. При опытном определении реакции R_B, как "лишней" неизвестной, примем такую последовательность выполнения лабораторной работы:

а) устраняем промежуточную опору В, что дает возможность опорному сечению В балки при F>F₁ переместиться на величину v_B> ;

б) с помощью специального коромысла (рис.17.1,б), один конец которого закреплен с балкой в сечении В, а другой конец снабжен поддоном, на который устанавливаются гири, уменьшаем показание индикатора в сечении В до значения v_В= . Такое положение сечения В будет соответствовать опиранию балки на промежуточную опору В с возникновением реакции R_В при наличии зазора . Опытное значение опорной реакции R_B как раз и будет численно равно установленному грузу на поддоне.

Получив опытные данные при разных значениях силы F>F₁, необходимо внести их в журнал наблюдений и построить графики экспериментальных зависимостей R_B(F), v_А(F) и v_В(F), которые укажут на смену расчетных схем заданной системы с зазором при увеличении нагрузки F.

Последовательность теоретического расчета

Следует отметить, что в общем случае теоретического расчета механической системы с переменным составом связей (т.е. системы, способной в пределах рабочих нагрузок переходить из статически определимой в статически неопределимую и обратно) требуются специальные численные методы. И только в случае простой системы с одной лишней односторонней (т.е. удерживающей только в одном направлении) связью, эта задача допускает простое теоретическое решение. Расчетная схема опытной установки рассматриваемой лабораторной работы как раз относится к указанному простейшему варианту механической системы с переменным составом связей.

Для теоретических расчетов принимаем идею метода сил, в соответствии с которым, как и при проведении опыта, отбрасывается "лишняя" связь - промежуточная опора В, имеющая с балкой зазор , и заменяется "лишней" неизвестной силой R_В= . В результате получаем эквивалентную систему - статически определимую геометрически неизменяемую систему (основную систему), нагруженную заданной силой F и неизвестной реакцией (рис.17.2,а).

Для определения лишней неизвестной при наличии зазора используется каноническое уравнение метода сил в виде

+ = 0 (17.1)

Рис. 17.2

где

• =( - )–некоторый теоретически возможный перехлест взаимодействующих поверхностей балки и опоры (рис.17.2,г), для которого должны быть выполнены условия: =0, если ( - ) 0; 0, если ( ) <0;

• - перемещение в основной системе от сил заданных F по направлению ;

• -единичное перемещение в основной системе от действия =1.

При решении задачи с односторонней связью принимается единственное направление реакции - всегда от опоры, т.е. от сопротивляющейся среды. Поэтому в расчетах по (17.1) ≥0, перемещение и зазор всегда имеют знак минус. Перемещения и вычисляются, как обычно, методом Мора.

Указанные выше условия для связаны с диапазоном внешней нагрузки F:

1) В диапазоне значений нагрузки F<F₁, заданная система оказывается статически определимой (рис.17.2,б), поскольку теоретическим расчетом получаем ( )≥0, что приводит по указанному выше условию, =0 и =0. Перемещения свободного конца балки v_A и сечения В над промежуточной опорой v_B, теоретически находятся, как и , с помощью формулы Мора. При F=F₁ заданная система деформируется так, что сечение В совершит максимальное расчетное перемещение v_B, равное зазору . Это будет соответствовать соприкосновению поверхности балки с поверхностью промежуточной опоры (17.2,в). Таким образом, теоретическое значение силы F₁, при которой заданная система остается статически определимой, вычисляется с помощью интеграла Мора из условия .

2) При нагрузке F>F₁ заданная система становится статически неопределимой, т.к. из расчета получаем ( )<0, что приводит по указанному выше условию, <0 и >0 (рис.17.2,г, д). Теоретические значения реакции R_В= , как «лишней» неизвестной, при наличии зазора и при разных заданных силах F>F₁ вычисляются из уравнения

=−

Получив теоретические результаты вычислений реакции R_В= (F), перемещений v_А(F), v_В(F), необходимо сравнить их с данными эксперимента.

Контрольные вопросы:

1) Как определяется лишняя неизвестная X₁ при наличии зазора между балкой и опорой?

а) последовательность проведения опыта;

б) последовательность теоретического расчета;

2) Как влияет зазор между балкой и опорой на зависимость между силой и перемещением свободного конца балки?

3) Как влияет зазор на зависимость между силой и перемещением опорного сечения балки?

4) Как влияет зазор на величину изгибающего момента в заделке?

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

На практике элементы конструкций и машин подвергаются действию сил, которые могут вызвать одновременно не одну из простейших деформаций (осевое растяжение – сжатие, плоский изгиб, кручение, сдвиг), а две и более. Такие случаи деформации стержней называют сложным сопротивлением, и в общем случае требуют в расчетах одновременного учета всех видов деформаций и их взаимного влияния.

В то же время, если допускать деформации только малые, при которых можно пренебречь влиянием перемещений, вызванных, например, изгибом на расположение нагрузок, вызывающих растяжение, то для вычисления суммарных перемещений и напряжений можно применить принцип независимости действия сил. Таким образом, вычислив напряжения и перемещения для каждого вида простейшей деформации и просуммировав их, можно составить условие прочности или жесткости для стержня при сложном сопротивлении.

Рассмотрим наиболее распространенные три случая сложного сопротивления: косой изгиб прямого бруса, внецентренное растяжение прямого стержня, плоский изгиб кривого бруса.