Общая задача математического программирование

Задача оптимизации целевой функции при ограничении g которая накладывают на независимые переменные являются общей задача математического программирование.

Всякий набор переменных X(x₁, x₂, …, x_j), который удовлетворяет системе ограничений, называется планом задачи математического программирования.

С учетом физических и экономических ограничений, компоненты плана являются величинами положительными.

Множество планов образует область допустимых решений (определяет область значений задачи математического программирования).

План, на котором целевая функция получает оптимальное значение, называется оптимальным.

Оптимальное решение не является единственным. Есть случаи, когда в задаче есть конечное или бесконечное множество оптимальных планов.

Система ограничений может быть совместимой и несовместимой. Если система ограничений несовместима, то не существует ни одного плана и невозможно получить решение.

Классификация задач математического программирования:

1. Классические задачи, неклассические (специфические) задачи. Признаком этой классификации является дифференцируемость функции.

Классические задачи:

1. Имеют непрерывную функцию F и непрерывную функцию ограничений g.

2. Имеют непрерывные частные производные до второго порядка.

3. Не имеют ограничений в виде ограничений неравенств (имеют только равенства).

4. Не имеют ограничений на переменные области.

5. Не имеют ограничений неотрицательности.

6. Не имеют требований дискретности переменных.

Классические задачи делятся на два подкласса: задачи поиска безусловного экстремума (F*=extreme F(X)), задачи поиска условного экстремума (g_i(X)≤b_i).

Неклассические делятся на два подкласса: специальные (для таких задач разработаны специальные непрямые методы решения задач), неспециальные.

Типы специальных неклассических задач:

1. Задачи линейного программирования (ЗЛП).

2. Задачи квадратичного программирования.

3. Задачи выпуклого программирования.

4. Задачи сепарабельного программирования.

5. Задачи геометрического программирования.

6. Задачи дискретного программирования.

7. Задачи стохастического программирования.

Классификация задач математического программирования

1. Классические и неклассические (специфические). Основным признаком этой классификации является дифференцированность самой функции.

Классические задачи имеют:

1. непрерывную функцию F и непрерывную функцию ограничений;

2. до второго порядка непрерывные частные производные;

3. отсутствие ограничений в виде ограничений неравенств;

4. отсутствие ограничений на переменные (областные) ;

5. отсутствие ограничений неотрицательности вида ;

6. отсутствие требования дискретности переменных

Классические задачи разделяются в свою очередь на:

1. Задачи поиска безусловного экстремума или .

2. Задачи поиска условного экстремума ,

Неклассические делятся на:

1. Специальные – те, для которых разработаны специальные непрямые методы решения, независимо от того, какие функции использованы в описании модели.

2. Неспециальные.

2. Типы специальных неклассических задач (по структуре функции):

   1. Задачи линейного программирования (ЗЛП): , , , .

   2. Задачи квадратичного программирования (ЗКП)

, , , – заданные постоянные величины.

3. Задачи выпуклого программирования.

(Данные функции опуклые)

4. Задачи сепарабельного программирования.

5. Задачи геометрического программирования.

6. Задачи дискретного программирования.

Любая задача математического программирования, в которых переменные принимают значение некоторой дискретной, в первую очередь, обусловленного числового множества.

7. Задачи стохастического программирования.

В них можно определить только определенное распределение соответствующих значений целевой функции или сам оптимальный план подлежит статическому распределению.

Глобальный максимум – точка максимума, наблюдающаяся на всей области определения функции. Глобальный максимум является максимальным среди всех локальных максимумов функции.

Локальный максимум – значение функции, которое больше какого-либо среднего значения ее аргумента или набора аргументов , является необходимым условием для достижения локального максимума

Первая теорема Вейерштрасса:

Если функция непрерывна на промежутке , она ограничена на нем.

Вторая теорема Вейерштрасса:

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция достигает своих наибольшее и наименьшее значение).

Лекция 4