10. Свойства функции и её график

О. Число, равное отношению косинуса угла такого, что , к синусу этого угла , называется котангенсом угла и обозначается .

Т.к. каждому значению величины угла , кроме соответствует однозначно определённое значение , то тем самым задана функция .

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. и , то область определения функции : .

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множество значений функции:

Доказательство:

Действительно, рассмотрим предел отношения в точках, не принадлежащих области определения:

, . Во всех остальных точках функция определена, значит, множество значений функции: .

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Докажем, что число есть период функции . Применяя формулы приведения, получим следующее:

: .

аналогично

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значения , при которых функция .

Как известно, что дробь равна нулю тогда и только тогда. когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть .

Т.о., что никакое положительное число, меньшее , не является периодом функции .

4. Чётность/нечётность

: , т.о., функция является нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью : не существует, значит

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют одинаковые знаки . Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют разные знаки .

То есть для углов, расположенных в первой и третьей координатных четвертях и для углов, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Т.о., при ; при .

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она являются убывающей на каждом из интервалов вида .

Доказательство:

В силу периодичности, достаточно доказать убывание на промежутке .

Докажем, сначала убывание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения , такие, что . _.На рассматриваемом промежутке функция возрастает, а функция убывает. Поэтому и , . То есть .

Перемножая неравенства одного знака: и , учитывая, что все сомножители неотрицательны, получаем неравенство . Таким образом, функция

возрастает на промежутке .

Аналогично, докажем убывание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения , такие, что _..

, а значит, функция убывает на .

8. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Так как множество значений функции: , то функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

9. График функции.

График функции имеет вертикальные асимптоты: . (рис. 10)

11. Свойства степени. Показательная функция и её свойства.

О. Степенью действительного числа a с натуральным показателем n называется число, равное произведению n сомножителей, каждый из которых равен a: .