Висновок

У результаті виконання завдання №1 я вивчив методику статистичної оцінки вихідних параметрів ЕКЗ, придбав навички в розрахунку математичного чекання, дисперсії, середньоквадратичного відхилення й коефіцієнта варіації, а також у визначенні довірчого інтервалу для оцінки математичного чекання та дисперсії.

б ) Завдання №2.

Оцінка закону розподілу параметра

Загальні теоретичні положення

Імовірність всіх значень, які може приймати випадкова величина, називається розподілом імовірності. Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між значеннями випадкової величини x=(x₁,...,x_k) і ймовірностями появи цих значень. Закон розподілу ймовірностей містить найбільш повну інформацію про можливі значення параметра у великій партії.

Існує дві форми закону розподілу – інтегральна й диференціальна. Інтегральний закон розподілу випадкової величини характеризується ймовірністю того, що випадкова величина менше деякої змінної x. Інтегральний закон виражається функцією розподілу:

F(x) = P(X≤x).

Функція розподілу визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з діапазону -∞<X≤x.

Основні властивості функції розподілу:

1) ненегативна;

2) неубутна;

3) область значень F(x): [0;1];

4) при x→∞ F(x)→1.

У ряді випадків зручніше оперувати не з функцією розподілу, а з ії похідною – так званою функцією щільністі розподілу імовірностей:

.

Щільність розподілу імовірностей завжди додатна. До того ж

Статистичний аналог щільності розподілу імовірностей – гістограма розподілу.

Алгоритм побудови гістограми.

1. Дані вимірів розміщають у порядку зростання, створюючи варіаційний ряд.

2. Знаходять розмах варіювання , де x_max і x_min – найбільше і найменше значення параметра у виборці.

3. Розділяють розмах варіювання на f інтервалів і визначають ширину кожного з інтервалів ∆_i (i=1,2,…,f), i – номер інтервалу:

У курсовій роботі n=300, тому приймають f=15.

4. Знаходять f_i – кількість елементів, що опинились в інтервалі з номером i, та підраховують статистичну частоту для кожного інтервалу:

5. На осі абсцис помічаємо границі інтервалів. На кожному інтервалі будуємо прямокутник заввишки . Площа кожного прямокутника дорівнює , загальна площа всіх прямокутників гістограми дорівнює одиниці.

6. За даними гістограми будуємо статистичну функцію розподілу , вважаючи:

Рівняння (згладжування) статистичного закону.

Гістограма розподілу і статистична функція розподілу мають вигляд ломаних кривих. На практиці виникає необхідність згладжування отриманих залежностей шляхом підбору для них найбільш придатних плавних кривих, що відповідають певному теоретичному закону розподілу. В математичній статистиці з цією метою використовують метод моментів розподілу.

Згладжуючий закон підбирається так, щоб його основні числові характеристики дорівнювали числовим характеристикам статистичного розподілу. Якщо для згладжування використовується нормальний закон розподілу, то конкретна форма φ(х) залежить від двох числових характеристик: математичного чекання і дисперсії, в якості яких використовують вибіркові оцінки m^*(х), D^*(x). Тобто

Форма згладжуючого закону вибирається виходячи з фізичної суті процесів, обумовлюючих випадковий характер параметра, що розглядається. Центральна гранична теорема теорії імовірностей (теорема Ляпунова) формує умови, за якими під час рівняння (згладжування) статистичного закону треба використовувати нормальний закон розподілу.

Оцінка відповідності статистичного і теоретичного законів.

У математичній статистиці питання, наскільки одержаний статистичний матеріал відповідає згладжуючій (теоретичній) кривій розподілу, вирішується за допомогою критеріїв згоди. Найбільшого поширення набули критерії згоди χ² (критерій Пірсона) і критерій згоди Колмогорова.

Схема використання критерію Колмогорова.

1. Заповнюють таблицю статистичних частот і теоретичних ймовірностей того, що результати вимірів попадуть до і-го інтервалу. У таблицю також вносять значення статистичної F^*(x) і теоретичної F(x) функції розподілу.

Теоретична ймовірність P_i того, що параметр прийме яке-небудь значення з і-ого інтервалу, при згладжуванні за допомогою нормального закону визначається через функції Лапласа Ф(х) (див. додаток №1):

де x_iв, x_iн – верхні й нижні границі інтервалів.

Теоретична функція розподілу F(x):

2. Статистична F^*(x) і теоретична F(x) функції розподілу зображуються на одному графіку.

3. Визначається максимальна величина модуля різниці між F^*(x) і F(x):

R_max = max | F^*(x) - F(x)|.

4. Визначають величину λ:

5. За таблицями критерію Колмогорова (див. додаток №2) визначається ймовірність Р(λ) того, що випадково максимальне розходження між F^*(x) і F(x), збільшене в разів, може перевищити зафіксоване λ.

Якщо Р(λ)>0,1, теоретична функція розподілу F(x) вважається такою, що не суперечить даним експерименту і приймається. Тобто розподіл є нормальним.

Вихідні дані

В якості вихідних даних для цього завдання використати вихідні дані завдання №1.