- •Линейные пространства.
- •2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •4. Базис, координаты, размерность.
- •5. Подпространства.
- •6. Линейные многообразия.
- •2. Линейные оболочки.
- •3. Линейные формы.
- •4. Сопряженное пространство.
- •5. Задание подпространств с помощью линейных форм.
- •6. Матричная запись линейных форм.
- •13. Линейные отображения и операторы.
- •12. 1. Канонический вид матрицы линейного преобразования.
- •12. 2. Инвариантные подпространства.
- •12. 3. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •12. 4. Характеристическое уравнение.
- •12. 5. Условия диагонализируемости оператора.
- •12. 6. Комплексные корни характеристического уравнения.
- •12. 7. Кратные корни.
- •16. Евклидовы пространства.
- •16.1. Определение евклидова пространства.
- •16.3. Неравенство Коши - Буняковского.
- •16.5. Ортонормированные базисы.
- •10. Прямая на плоскости.
- •11. Плоскость в пространстве.
- •1 2. Прямая в пространстве.
- •15. Билинейные и квадратичные формы.
- •15.3. Симметричные билинейные формы.
- •15.4. Квадратичные формы.
- •15.5. Канонический вид квадратичной формы.
- •17. Классификация линий и поверхностей 2-го порядка
12. 1. Канонический вид матрицы линейного преобразования.
При изучении свойств линейного преобразования важно выбрать такой базис пространства, в котором его матрица принимает канонический (простейший) вид. Соответствующий базис также называется каноническим. Для линейного преобразования пространства, т.е. оператора, переводящего пространство в себя, эта задача гораздо сложнее. Начиная с этого момента, линейное преобразование для краткости будем называть линейным оператором или просто оператором. Привести матрицу оператора к каноническому виду значит привести её к диагональному, или, если это невозможно, к блочно диагональному виду с блоками минимального размера и наиболее простого вида.
12. 2. Инвариантные подпространства.
Пусть линейный оператор действует в пространстве , т.е. переводит пространство в себя. Подпространство называется инвариантным для оператора , если , т.е. из . Выберем в такой базис, чтобы первые k базисных векторов образовывали базис инвариантного подпространства ( ).
Тогда матрица оператора в этом базисе имеет следующий вид
(10.1)
(здесь матрица размера ограничения оператора на L1).
Если пространство разложено в прямую сумму инвариантных подпространств , то в базисе пространства , состоящем из объединения базисов инвариантных подпространств, матрица оператора является блочно диагональной, т.е. имеет следующий вид:
(10.2).
(Размеры блоков совпадают с размерностями соответствующих инвариантных подпространств ).
12. 3. Собственные векторы и собственные значения оператора.
Матрица вида (10.2) будет диагональной, если инвариантные подпространства одномерные. Так как любой линейный оператор в одномерном пространстве умножает все векторы на число, то действие оператора на вектор из одномерного инвариантного подпространства задается формулой: (10.3).
Ненулевой вектор x, удовлетворяющий (10.3), называется собственным вектором оператора , а число соответствующим ему собственным значением оператора . Важное свойство собственных векторов дает следующая теорема.
Теорема. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.
12. 4. Характеристическое уравнение.
Для определения собственных значений оператора выберем в произвольный базис и запишем соотношение (10.3) в матричном виде: , или (10.4),
где матрица оператора , столбец из координат вектора .
Система уравнений (10.4) линейная однородная с квадратной матрицей , поэтому она имеет ненулевое решение тогда, и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. Уравнение называется характеристическим уравнением. Определитель является многочленом степени от переменной и называется характеристическим многочленом матрицы (оператора ). Каждое собственное значение оператора является корнем характеристического уравнения. Обратно, каждый корень характеристического уравнения является собственным значением оператора , так как в этом случае система (10.4) имеет ненулевое решение. Множество всех собственных значений оператора называется его спектром. Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , необходимо решить систему (10.4) при .