Лекция №3 Уравнения Максвелла.

Е, Н – электрическая и магнитная напряжённости. Е=(Е₁,Е₂,Е₃), Н=(Н₁,Н₂,Н₃). В качестве переменных могут быть х=(х₁,х₂,х₃), t – время.

1. div(E)=

2. div(H)=0

3. rot E = –(H)/t

4. rot H = (E)/t + J + j

D=E – индукция электрического поля, В=Н – индукция магнитного поля, j=E – ток,  – проводимость,  – изолятор пространственный. Для решения уравнений первого порядка не существует метода решения. Rot rot A = grad div A – div grad A — основная формула для решений уравнений Максвелла. С помощью неё можно решить уравнения 3), 4). Rot rot H = /t( rot E) + rot J;

Grad div H – div grad H = /t((–/t[H])) + rot J +. – гиперболический тип. Аналогично с вектором Е. Если в среде присутствует проводящий элемент (медь,), то добавляется дополнительное слагаемое. +  ²H/t².

Задача Коши для одномерного волнового уравнения.

Волновое уравнение – это уравнение колебания струны.

(1) ²U/t² – a² ²U/x² = 0; –<x<, t>0  AU_xx+2BU_xy+CU_yy+ (…) = 0. =В² – АС. В=0, А=1, С = –а²,  = а² => уравнение гиперболического типа. Существует и вторая каноническая форма для канонического вида: dx/dt = a, dx/dt = –a – характеристики. dx/dt = (ВВ² – АС)/А.

x – at=C₁, x + at = C₂ =>  = x – at,  = x + at – новые переменные (4). Выполняя замену, получим: ²U/ = 0 (5). Начальные условия: –<x<, t>0 => U(x,t)|_t=0=(x), U_t(x,t)|_t=0 = (x) (2). Пусть решение этой задачи (1) есть некоторая функция: (3) U(x,t) = f(x – at) + g(x + at). Если f и g С²(R), то и решение U(x,t)C²(R). Докажем, что это правильно:

Из уравнения (5) => /(U/) = 0;

U/(, ) = V(, ) – новое обозначение. Тогда (5) примет вид: (6) V/ = d/d(V|_=const) = 0, V|_=const – не зависит от , т.е. V(, ) = C() (7).

U/(, ) = V(, ) => d/d(U|_{ = const}) = C(). Проинтегрируем обыкновенное дифференциальное уравнение и получим: U|_{ = const} =  C()d + C₁()

U = f() + g()

U = f(x – at) + g(x + at). Решение волнового уравнения для задачи Коши есть две волны.

Физическая интерпретация решения одномерного волнового уравнения.

1. f(x – at).

Функция U(x, t) – есть отклонение в точке х в момент времени t. Рассмотрим некоторую фиксированную точку х₀. Пусть из точки х₀ в положительном направлении оси х в момент времени t=0 начинает двигаться наблюдатель со скоростью, равной а. Тогда, в момент времени t₁ он окажется в точке х₁ = х₀ + аt₁. Величина отклонения, которую наблюдатель будет видеть в точке х₁ в момент времени t₁ будет U(x₁, t₁) = f(x₁ – at₁) = f(x₀), т.е. будет той же самой, что и в t₀. Начальный профиль будет двигаться со скоростью а в положительном направлении оси Ох. U(x,t)|_t=0 = (x) – начальный профиль. f(x – at) называется прямой бегущей волной. Аналогичные рассуждения относительно g.

2. g(x + at) – называется обратная бегущая волна. В отрицательном направлении оси Ох.

Вывод: любое решение U(x,t) волнового уравнения (1) может быть представлено суперпозицией 2^х волн, прямой и обратной.

Решение задачи Коши для волнового уравнения.

1. ²U/t² – a²²U/x² = f(x,t), –<x< t>0

U(x,t)|_t=0 = (x), U_t(x,t)|_t=0 = (x) (2)

I. Задача Коши для однородного уравнения с заданными начальными условиями.

²V/t² – a² ²V/x² =0; V|_t=0 = (x), V_t|_t=0 = (x)

II. Задача Коши для неоднородного уравнения, но с однородными начальными условиями.

²W/t² – a² ²W/x² = f(x,t); W|_t=0 = 0, W_t|_t=0 = 0

I: Решение этой задачи будет таким: V(x,t) = F(x+at) + (x–at) (3). Среди всех таких решений будем искать такое, которое бы удовлетворяло начальным условиям. V(x,0) = (x) = (x)+F(x), V_t(x,0) = (x) = –a(x) + aF(x) (4). Второе уравнение из (4) проинтегрируем и получим два уравнения для определения 2^х функций F и :

(х) + F(x) =(x), –Ф(x) + F(x) = 1/a{x₀,x}(z)dz + C (5).

Из (5) => F(x)=(x)/2+1/(2a){x₀,x}(z)dz+C/2, Ф(x)=(x)/2 – 1/(2a){x₀,x}(z)dz – C/2 (6). Из (6)(3) с учётом, что х – аt и х + аt: U(x,t) = 1/2[(x–at) + (x+at)] + 1/(2a){x–at, x+at}(z)dz (7) – формула Даламбера – описывает свободные колебания бесконечной струны при заданных начальных возмущениях. Получили явный вид решения I.

Вывод: Предположив существование решения задачи Коши получили формулу (7), значит, это решение единственно. Если функция (х) обладает производной 1^го и 2^го порядка, а (х) производную 1^го порядка, то формула (7) даёт искомое решение задачи Коши и доказать это можно подстановкой U(x,t) в уравнение I. Построив решение задачи Коши, тем самым доказали его существование. Такой метод построения решения называется методом характеристик.

II. Будем строить вспомогательную функцию (x,t,), которая удовлетворяет однородному уравнению: _tt = a²_xx и |_t= = 0; _t|_t= = f(x,) – это есть задача I, которая только что решена. w(x,t) = {0,t}(x,t,)d (8) – решение задачи II. Проверим: по правилам дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом по параметру, найдём: w_t(x,t) = |_t= (0, начал. усл.)+ {0,t}_t(x,t,)d (9). Из (8), (9) => w(x,t) удовлетворяет нулевым начальным условиям: w(x,t)|_t=0 = 0, w_t(x,t)|_t=0 = 0. Продифференцируем (9) ещё раз и используем начальные условия: w_tt = _t|_t= + {0,t}_tt(x,t,)d = f(x,t) + {0,t}_tt(x,t,)d (10). w_xx – ? w_xx = {0,t}_xx(x,t,)d (11). a² w_xx = {0,t}a² _tt(x,t,)d. Из (10), (11) => w_tt – a² w_xx = f(x,t) + {0,t}[ _tt – a²_xx](0)d. Значит, функция w(x,t) представленная в виде (8) есть решение задачи II. Найдём её явное выражение: для нахождения функции (x,t,) можно воспользоваться формулой Даламбера: (x,t,) = 1/(2a){x–a(t–), x+a(t–)}f(z,)dz (12). Из (12)(8) => w(x,t) = 1/(2a){0,t}{x–a(t–), x+a(t–)}f(z,)dzd (13). Решение задачи: U(x,t) = V(x,t) + W(x,t).