- •2. Кинематика жидкости
- •2.1. Два метода описания движения жидкости
- •2.2. Линии и трубки тока. Расход жидкости
- •2.3. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •2.4. Уравнение неразрывности в криволинейных ортогональных системах координат
- •2.5. Общий характер движения жидкой частицы. Теорема коши-гельмгольца
- •2.6. Вихревые линии и трубки. Теорема гельмгольца. Образование вихрей
- •2.7. Циркуляция скорости и теорема стокса
- •2.8. Безвихревое или потенциальное движение
- •2.9. Плоские потоки несжимаемой жидкости. Функция тока и гидродинамическая сетка
2.7. Циркуляция скорости и теорема стокса
Интенсивность вихрей является прямой характеристикой вихревого движения, но ее нельзя непосредственно измерить. Кроме того, в некоторых расчетах удобнее оперировать такой мерой вихревого движения, которая выражалась бы не через угловую, а через поступательную скорость. Этому отвечает понятие циркуляции скорости.
Циркуляцией Г вектора скорости и по некоторому контуру называется криволинейный интеграл от скалярного произведения и на элементарный вектор ds дуги контура L (рис. 2.18):
. (2.39)
Циркуляцию можно представить в виде
(2.40)
где dx, dy, dz — проекции вектора ds.
Отметим свойства циркуляции, вытекающие из ее определения как криволинейного интеграла;
1) циркуляция скорости по всему контуру равна сумме циркуляции по отдельным его участкам;
2) при изменении направления обхода контура на обратное изменяется знак циркуляции (условимся считать положительной циркуляцию, которая получается, если контур обходить так, чтобы ограниченная им область оставалась слева).
Связь между циркуляцией и интенсивностью вихрей устанавливается теоремой Стокса. Сформулируем и докажем ее для односвязной (А) и многосвязной (Б) областей.
А. Циркуляция скорости по замкнутому контуру, ограничивающему односвязную область, равна потоку вихрей через эту область.
________________
Джорж Габриель Стокс (1819—1903) — ведающийся английский физик и математик, автор ряда исследований по математике и гидродинамике. Дал вывод уравнений движения вязкой жидкости (см. гл. 5), исследовал закон медленного движения шара в жидкости и волны на поверхности жидкости. Получил ряд важных математических результатов, в числе которых излагаемая теорема.
Рис.
2.19. Схема
для доказательства теоремы Стокса
Для доказательства на произвольной незамкнутой поверхности расположим замкнутый, не пересекающий себя контур L (рис. 2.19, а), ограничивающий площадь .
Как известно из теории криволинейных интегралов, если на поверхности заданы три непрерывные и дифференцируемые функции Р, Q и R, то для них справедлива формула Стокса
Выбирая в качестве функций Р, Q и R проекции скорости их, uy и uz соответственно и применяя формулу Стокса, получаем
Разности производных, стоящие в круглых скобках под знаком интеграла, представляют собой, очевидно, удвоенные компоненты вектора угловой скорости , а правая часть является циркуляцией скорости по выбранному контуру. Учтем, кроме того, геометрические соотношения: d cos (п, х) = dx; d cos (п, у) = dу; d cos (n, z) = dz, где dx, dу, dz, — проекции площадки d на плоскости, нормальные осям х, у, z. Эти величины можно рассматривать как проекции вектора d. Тогда выражение (2.41) можно записать в виде
Подынтегральное выражение в последнем равенстве представляет собой скалярное произведение векторов и d. Следовательно,
(2.42)
Правая часть выражения (2.42) есть поток вихрей через область , т.е. удвоенная интенсивность вихрей, пронизывающих эту область. Равенством (2.42) доказывается теорема Стокса для односвязной области.
Б. Поток вихрей через многосвязную область равен разности между циркуляцией по внешнему контуру L и суммой циркуляции по всем внутренним контурам li.
Докажем теорему вначале для двухсвязной области. Для этого соединим внешний L и внутренний l контуры «перемычкой», как показано на рис. 2.19, б. Точки A и A', В и В' расположим достаточно близко одна к другой. Сложный контур ALA'B'lBA ограничивает односвязную область и к нему применима теорема Стокса, доказанная в п. А. Следовательно, ala'-b'iba = 2J, где J — суммарная интенсивность вихрей, пронизывающих область . Разбивая криволинейный интеграл, которым выражается циркуляция, на интегралы по отдельным участкам, получаем
ala' + a'b'+ b'ib+ Гba = 2 J.
Будем приближать точку А' к точке A и В' к В. Тогда в пределе получим ГAB = — ГBa, поскольку эти величины представляют собой криволинейные интегралы, взятые по одному и тому же отрезку АВ, проходимому дважды в противоположных направлениях. Следовательно,
ala'+ b'ib = 2 J.
Учтем, наконец, что ala' = l и —b'lb = Гl представляют собой циркуляции соответственно по внешнему и внутреннему контурам, взятые в одном направлении. Тогда
(2.43)
что и доказывает теорему Стокса для двухсвязной области. Обобщение доказательства для многосвязной области не составляет труда. Нетрудно убедиться, что
(2.44)
где Гli — циркуляция по внутренним контурам n-связной области.
Таким образом, циркуляция скорости по замкнутому контуру может служить, наряду с интенсивностью J, мерой вихревого движения. Использование циркуляции в теоретических вычислениях и практических расчетах очень удобно и эффективно.