- •11. Одномерные течения идеального газа
- •11.1. Некоторые термодинамические соотношения
- •11.2. Различные формы уравнения бернулли. Скорость распространения малых возмущений в газе
- •11.3. Параметры торможения и критическая скорость. Изоэнтропические формулы
- •11.4. Изменение параметров газа при течении по трубе переменного сечения
- •11.6. Истечение газа из резервуара через сужающееся сопло. Формула сен-венана-ванцеля
- •11.6. Прямой скачок уплотнения
- •11.7. Ускорение и торможение газовых потоков
11.4. Изменение параметров газа при течении по трубе переменного сечения
Выше предполагалось, что в одномерном потоке газа все его параметры — скорость, давление, температура, плотность — постоянны в пределах рассматриваемого сечения. Такое а приближенное представление не только оказывается достаточным для установления основных качественных закономерностей, но позволяет в ряде случаев выполнить технические расчеты с удовлетворительной точностью.
Рассмотрим закономерности изменения указанных газовых параметров вдоль оси потока, не учитывая ее кривизну и приняв ее за координатную ось х.
Уравнение неразрывности для одномерного потока в трубе переменного сечения можно записать в конечной (гидравлической) форме
или в дифференциальной форме
(11.42)
которая получается, если первую формулу прологарифмировать, а затем продифференцировать. Следует подчеркнуть, что дифференциалы в выражении (11.42) берутся по переменной х, т. е. вдоль оси потока. Чтобы установить связь между изменением живого сечения и изменениями других параметров, используем также уравнение Бернулли
дифференцируя которое, найдем
или
Поскольку a2 = kp/ =dp/d, то это уравнение можно записать в виде
откуда
(11.43)
Подставляя выражение для относительного изменения плотности в уравнение неразрывности, получаем уравнение Гюгонио
(11.44)
которое позволяет установить характер изменения скорости вдоль трубы переменного сечения. Прежде чем выполнять этот анализ, найдем аналогичные соотношения для плотности и давления. Из формул (11.43) и (11.44) имеем
а используя уравнение адиабаты р = Срk найдем
(11.46)
Из уравнений (11.44)—(11.46) можно сделать следующие выводы.
1. Дозвуковой поток газа (М < 1) в расширяющейся трубе (dS > 0) замедляется (du < 0), а в сужающейся (dS < 0) ускоряется (du >0). Таким образом, поведение дозвукового потока газа качественно аналогично поведению потока несжимаемой жидкости.
2. Сверхзвуковой поток газа (М > 1) ускоряется (du > 0) в расширяющейся трубе и замедляется (du < 0) в сужающейся.
3. Изменения плотности и давления обратны изменению скорости; плотность и давление дозвукового потока в расширяющейся трубе возрастают, а в сужающейся — убывают. Для сверхзвукового потока имеет место противоположная закономерность.
4. При М = 1, т. е. при достижении критических параметров, во всех сечениях, где dS 0, наступает разрывное (du/dx =) или скачкообразное изменение параметров газа.
Как показано ниже, скачкообразный переход через критическое состояние физически возможен только в сверхзвуковом потоке, который при таком переходе преобразуется в дозвуковой. Поскольку при этом плотность газа скачкообразно возрастает, этот переход получил название прямого скачка уплотнения. Аналогичный переход дозвукового потока в сверхзвуковой должен был бы иметь характер скачка разрежения, однако его существование противоречит второму закону термодинамики и потому невозможно (см. п. 11.6).
Важное практическое значение имеют условия непрерывного перехода через критическое состояние. Необходимым условием для непрерывного перехода через критическое состояние (через звуковую скорость) является наличие в трубе экстремального сечения, в котором dS = 0. Тогда при М = 1 в этом сечении du/dx может иметь конечное значение, т. е. переход дозвукового потока в сверхзвуковой может быть осуществлен только в трубе с минимальным сечением (рис. 11.2, а). В такой трубе, получившей название сопла Лаваля, дозвуковой поток ускоряется в сужающейся части (конфузоре) и, если минимальное (критическое) сечение надлежащим образом рассчитано, то в нем достигается звуковая скорость, а в расширяющейся части происходит дальнейшее ускорение уже сверхзвукового потока.
Очевидно, такое преобразование дозвукового потока в сверхзвуковой невозможно в трубе с максимальным сечением (рис. 11.2, б), так как дозвуковой поток, поступающий в расширяющуюся часть (диффузор), тормозится в ней и в экстремальном сечении имеет не только не звуковую, но даже меньшую, чем на входе, скорость. В сужающейся части поток снова ускоряется,
Рис. 11.2. Изменение параметров газа при течении по каналу переменного сечения:
а — канал с экстремальным сечением, в котором возможен переход от дозвуковых к сверхзвуковым скоростям; б — канал с экстремальным сечением. в котором таков переход невозможен
однако звуковая скорость может быть достигнута только в выходном сечении.
Представляет также интерес торможение газовых потоков. Из выводов 1 и 2 следует, что дозвуковой поток можно затормозить расширяющейся трубой (диффузором), а для сверхзвукового потока эту роль выполнит сужающаяся труба. Опыт показывает, что в последнем случае поток газа неустойчив и в нем легко возникает система косых и прямых скачков уплотнения, в которых и происходит торможение. Скачки уплотнения представляют собой поверхности, при переходе через которые происходит разрывное (скачкообразное) изменение параметров газового потока. Поскольку, как мы увидим ниже, скачки уплотнения сопровождаются потерями энергии, возникает вопрос о таком профилировании трубы, которое обеспечило бы системы скачков с минимальными потерями. Функцию устройства, осуществляющего торможение сверхзвукового потока и преобразование его в дозвуковой, может выполнить труба той же конфигурации, что и сопло Лаваля, которая, однако, в данном случае является сверхзвуковым диффузором.