17. Объемы многогранников
17.1. Понятие объема
Объемом тела называется положительная величина, обладающая следующими свойствами:
Равные тела имеют равные объемы
Если тело разбить на части, то объем этого тела равен сумме объемов его частей
Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единицы
Два тела называются равновеликими, если
они имеют равные объемы. Если два тела
подобны с коэффициентом подобия
,
то их объемы относятся с коэффициентом
:
.
17.2. Объем прямоугольного параллелепипеда
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда
с линейными размерами
,
,
.
Пусть эти два параллелепипеда имеют
общее основание
и высоты
и
(
).,
и пусть
и
– объемы этих тел.
Разобьем ребро
на
равных частей, каждая из которых равна
и пусть
– чисто точек деления, которые лежат
на ребре
.
Тогда
Проведем через точки деления плоскости,
параллельные основанию параллелепипеда.
Они разобьют первый параллелепипед на
равных частей, объемом
.
Тогда объем второго параллелепипеда
будет заключен в следующих пределах:
Таким образом, объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.
Рассмотрим теперь куб с единичным
ребром, объем которого по определению
равен 1, и три прямоугольных параллелепипеда
с измерениями
;
и
и объемами
,
и
,
соответственно. По доказанному выше
,
,
.
Перемножая эти три равенства, получаем
.
Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех линейных размеров.
17.3. Объем наклонного параллелепипеда
Найдем объем наклонного параллелепипеда .
Проведем через ребро
плоскость, перпендикулярную основанию
,
и дополним наклонный параллелепипед
треугольной призмой
.
Теперь отсечем плоскостью, проходящей
через ребро
перпендикулярно основанию призмы
,
от полученного тела треугольную призму
.
Получим новый параллелепипед
,
объем которого равен объему исходного
параллелепипеда
,
т.к. призмы
и
равны. При описанном преобразовании
сохраняются также площадь его основания
и высота. При этом плоскости двух граней
сохраняются, а плоскости двух других
становятся перпендикулярны основаниям.
Применяя еще раз подобное преобразование
к наклонным граням, получим прямой
параллелепипед. Полученный прямой
параллелепипед аналогичным преобразованием
превратим в прямоугольный, дополнив
его сначала призмой
,
а затем удалив призму
.
Это преобразование также сохраняет
объем параллелепипеда, площадь основания
и высоту.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трех его измерений, или что то же самое, произведению площади основания на высоту. Поскольку все вышеописанные преобразования сохраняли объем параллелепипеда, площадь основания и высоту, значит объем наклонного параллелепипеда также равен произведению площади основания на высоту.
17.4. Объем призмы
Рассмотрим сначала треугольную призму. Дополним ее до параллелепипеда такой же призмой. Объем получившегося параллелепипеда будет вдвое больше объема призмы и равен произведению площади основания на высоту. У призмы и параллелепипеда высоты одинаковые, а площадь основания параллелепипеда вдвое больше площади основания призмы. Следовательно, объем исходной призмы равен произведению площади основания на высоту.
Рассмотрим теперь произвольную призму. Разобьем ее основания на треугольников, а исходную призму – на треугольные призмы с боковыми ребрами, параллельными ребрам исходной призмы. При этом объем произвольной призмы будет равен сумме объемов треугольных призм, площадь ее основания будет равна сумме площадей треугольника, а высоты у всех призм будут одинаковы. Таким образом, объем произвольной призмы равен:
.
Таким образом, объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.