3. Расчет скачка.

Итак, мы рассмотрели течение газа по соплу Лаваля в расчетном режиме, когда вдоль сопла обеспечивается плавный разгон потока от произвольной дозвуковой скорости во входном сечении (в частном случае, на входе в сопло газ практически неподвижен, и его параметры – параметры торможения) до сверхзвуковой скорости в выходном сечении с переходом через звук в минимальном сечении сопла (горле), которое, таким образом, становится критическим сечением. Противодавление, соответствующее расчетному режиму - , или, в безразмерном виде, . Далее, мы рассмотрели нерасчетные режимы течения без скачков, когда в выходном сечении скорость потока меньше скорости звука, что соответствует диапазону противодавлений и для этого диапазона изменения выходного давления построили расходную характеристику.

Теперь переходим к рассмотрению случая, когда давление в выходном сечении сопла лежит в диапазоне .(*) В этом случае, как показано ранее, в расширяющейся части сопла будет располагаться прямой скачок уплотнения. Место расположения его определяется сочетанием геометрических характеристик, входных и выходных параметров; в частности, при прочих неизменных условиях, величиной противодавления.

Задача расчета течения в сопле Лаваля со скачком уплотнения может быть сформулирована двумя способами. Можно задать выходное давление, лежащее в указанном диапазоне (*), и затем искать положение скачка уплотнения и параметры на скачке, соответствующие этому противодавлению. Такая задача называется прямой; ее решение представляет значительную сложность (необходимо применять итерационную процедуру или иные методы). Возможна иная постановка задачи (т.н. обратная задача): задается положение скачка уплотнения (расстояние от входного сечения или горла, на котором происходит скачок, или площадь сопла в том сечении, где располагается скачок), и рассчитываются выходные параметры, в том числе противодавление, которые соответствуют такому положению скачка. Решение обратной задачи проще, поэтому будем производить расчет скачка именно в обратной постановке.

1. Итак, необходимо задать положение скачка уплотнения. У каждого выполняющего расчетное задание студента скачок занимает свое положение в сопле. Это положение будем задавать, определяя площадь сопла в указанном сечении по следующей формуле: (28) , где - площадь выходного сечения, - площадь сопла в минимальном (критическом) сечении, N- номер студента в списке его группы. Такой способ задания положения скачка позволяет каждому студенту получить индивидуальное задание, причем все скачки располагаются между критическим и выходным сечениями; чем меньше порядковый номер, тем ближе скачок к критическому сечению, чем дальше от начала и ближе к концу списка фамилия студента, тем ближе скачок к выходу из сопла.

2. Рассчитаем параметры потока на скачке (непосредственно перед скачком параметрам придадим индекс «1ск», а сразу после скачка величины обозначим индексом «2ск»). Сечения «1ск» и «2ск» разделяет по продольной координате, совпадающей с осью симметрии сопла, расстояние, равное толщине скачка. Это расстояние составляет несколько длин свободного пробега молекул, и, следовательно, им можно пренебречь. Далее считаем, что скачок происходит на нулевой толщине, .

Определим параметры перед скачком уплотнения (индекс «1ск»). Воспользуемся уравнением неразрывности (законом сохранения массового расхода) в форме (18). Запишем равенство массовых расходов в двух сечениях, в которых одинаковы параметры торможения; причем одним из них возьмем сечение «1ск». В качестве второго можно выбрать либо критическое сечение, параметры в котором известны (индекс «кр»), либо выходное сечение при работе сопла в расчетном режиме (индекс «1р»). В указанных сечениях давление и температура торможения потока соответственно. Температура торможения постоянна во всех сечениях, поскольку для идеального совершенного газа температура прямо пропорциональна энтальпии ( с точностью до const, которую можно положить равной нулю, выбрав соответствующим образом «ноль» отсчета энтальпии), а энтальпия торможения сохраняется по закону сохранения энергии, записанному для энергоизолированного течения . Давление торможения неизменно, поскольку сечения «кр» и «1ск» находятся «до» скачка уплотнения (параметры торможения еще не успели измениться), а сечение «1р» соответствует ситуации, когда скачка нет вовсе. На энтальпийно – энтропийной диаграмме (рис.4) указанные точки лежат на одной изоэнтропе . Плавному разгону потока от практически нулевой скорости на входе (точка «0») через скорость звука в минимальном (критическом) сечении (точка «Кр») до сверхзвуковой выходной скорости (точка «1р») соответствует

Итак, массовый расход в точках «кр» и «1ск», либо в точках «1р» и «1ск» одинаков:

(29а)

либо

(29b)

откуда находим функцию тока перед скачком:

(30a)

либо

(30b)

Определив функцию тока, можно при помощи таблиц газодинамических функций найти все остальные безразмерные параметры “1ск”. Необходимо обратить внимание на двузначность функции q! Одному и тому же значению функции тока соответствуют два значения скоростного коэффициента l (одно – дозвуковое, l<1, другое – сверхзвуковое, l>1), два безразмерных давления p и т.д. Поскольку в данном случае речь идет о сечении перед скачком уплотнения, где режим течения еще сверхзвуковой, нужно выбирать из двух вариантов тот, которому соответствует .

3. Переходим к сечению «2ск». Для нахождения при помощи таблиц газодинамических функций всех безразмерных параметров в этом сечении необходимо знать какую – либо одну величину. Наиболее легко определить скоростной коэффициент , воспользовавшись формулой Прандтля:

. (31)

Скачок – необратимый процесс, следовательно, неравновесный, сопровождается ростом энтропии (согласно второму началу термодинамики). На h-s - диаграмме переход от точки «1ск» к точке «2ск» сопровождается смещением направо (с изоэнтропы на изоэнтропу , Ds>0) и вверх (после скачка скорость падает, следовательно, энтальпия растет). Точка «2ск», кроме того, должна располагаться выше точки, соответствующей критическим параметрам «Кр», так как скорость за прямым скачком уплотнения меньше скорости звука.

Переход «1ск» ® «2ск» показан пунктирной линией, поскольку, строго говоря, в равновесных термодинамических диаграммах можно показывать только равновесные процессы.

4. Теперь можно определять параметры в выходном сечении (индекс «1»; не путать с параметрами на выходе в расчетном режиме истечения «1р»! В расчетном режиме течения на выходе – сверхзвуковой поток, а в исследуемом режиме течения со скачком уплотнения выходное сечение– дозвуковое).

Вновь воспользуемся уравнением неразрывности в форме (18). Теперь запишем равенство массового расхода в точках, лежащих на изоэнтропе (см рис.4) с давлением торможения . Это уже рассчитанная нами точка «2ск» и выходная точка «1»:

(32)

По определенной функции тока можно найти все остальные параметры в выходном сечении “1” (опять – таки, одному значению q соответствуют два набора параметров l, p, e, t, М; нас интересуют параметры, соответствующие дозвуковому режиму; !

5. Вычислим коэффициент неизоэнтропийности , выражающийся для идеального совершенного газа через отношение давлений торможения:

. (33)

При переходе через скачок уплотнения давление торможения падает, так что c<1.

Для того чтобы найти отношение давлений торможения вновь воспользуется соотношением (18), но теперь свяжем условием равенства массового расхода две уже известные (рассчитанные) точки, в которых давления торможения разные ( и соответственно). Удобно взять точки «1ск» и «2ск», поскольку для них площадь сечения одинакова:

(34)

6. Выразим коэффициент неизоэнтропийности иначе, через безразмерные давления:

. (35)

Здесь - безразмерное давление, соответствующее такому условному режиму течения, когда на выходе из сопла – давление , и при этом в сопле не было скачков уплотнения, то есть давление торможения по всей длине сопла одинаковое и равное давлению торможения во входном сечении . На h-s – диаграмме точка «1т» получается пересечением изобары с изоэнтропой . Этот режим течения, назовем его «теоретическим», индекс «1т», является неким оптимальным в том смысле, что в нем потери кинетической энергии при движении газа по соплу с заданным сочетанием входных параметров и выходного давления минимальны, соответственно кинетическая энергия потока на выходе из сопла – наибольшая при данных входных и выходных параметрах.

Тогда введем коэффициент полезного действия КПД сопла h, как отношение кинетических энергий в выходном сечении: той, которую имеет поток на самом деле (индекс «1»), к той, какая была бы у потока, не будь скачка уплотнения (индекс «1т»).

Отношение кинетических энергий равно отношению квадратов скоростей или квадрату отношения скоростных коэффициентов:

. (36)

Безразмерная скорость в выходном сечении (режим течения со скачком) в числителе была определена в п.4. Скоростной коэффициент теоретического режима определяется по безразмерному давления теоретического режима из (35):

. (37)

Расчет КПД сопла является логическим завершением, после определения параметров во всех значимых сечениях, расчетного задания и одновременно способом проверки правильности его выполнения. Вспомним, как назначалось место расположения скачка уплотнения для каждого студента (см. выражение (28) для площади скачка). Чем меньше порядковый номер студента в списке группы, тем ближе скачок к критическому сечению. С другой стороны, после прохождения критического сечения поток начинает ускоряться в сверхзвуковой области, и чем дальше от критического сечения произойдет скачок, тем сильнее успеет разогнаться поток, тем выше будет скорость перед скачком . Но, по соотношению Прандтля (31), чем выше скорость перед скачком, тем ниже скорость после скачка . Таким образом, чем дальше от критического сечения «назначен» скачок, тем больше перепад скорости (и остальных параметров) на скачке, тем «сильнее» скачок. Сильный скачок с большим изменением параметров означает большие потери энергии на скачке, что понижает КПД сопла. Построенная логическая цепочка позволяет утверждать, что среди всех сопел с одинаковыми входными параметрами и геометрическими характеристиками максимальный КПД имеет то сопло, в котором скачок располагается ближе всего к критическому сечению. Таким образом, максимальное значение h должен получить в своей работе студент, чья фамилия стоит первой в списке группы, а минимальный КПД – последний в списке; «зависимость» КПД от номера студента в списке h=h(№) – падающая.