Іі. Приклади розв’язку задач
1.102. В трикутнику АВС сторона АВ точками М і N розділена на три рівні частини: . Знайти вектор , якщо .
Маємо . Звідси,
Отже , тоді . ▲
1.103. В трикутнику АВС пряма АМ є бісектрисою кута ВАС, причому точка М лежить на стороні ВС. Знайти , якщо .
Маємо . Із властивості бісектриси внутрішнього кута трикутника випливає, що , тобто .
Звідси одержуємо .
Оскільки , тоді . ▲
1.104. Задані точки А(1, 2, 3) і В(3, -4, 6). Знайти довжину, напрямок і норму вектора .
Проекціями вектора на осі координат є різниця відповідних координат точок В і А: ах=3-1=2, ау=-4-2=-6, az=6-3=3. Звідси . Знайдемо довжину вектора
Шуканий одиничний вектор має вигляд . ▲
1.105. Заданий трикутник: А(1, 1, 1), В(5, 1,-2), С(7, 9, 1). Знайти координати точки D перетину бісектриси кута А зі стороною СВ.
Знайдемо довжини сторін трикутника, що утворюють кут А:
Звідси , оскільки бісектриса ділить сторону СВ на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Таким чином,
шукана точка D(17/3, 11/3, -7). ▲
1.106. На осі Ох знайти точку, рівновіддалену від точок А(2; -4; 5) і В(-3; 2; 7).
Нехай М – шукана точка. Тоді . Оскільки точка М лежить на осі х, то її координати (х, 0, 0).
Отже (x-2)2+41=(x+3)2+53; або 10х=-17, тобто х=-1,7.
Звідси М(-1,7; 0; 0). ▲
1.107. Задані вектори .
Обчислити скалярні добутки:
Знаходимо:
▲
1.108. Обчислити, при якому значенні вектори взаємно перпендикулярні.
Знаходимо скалярний добуток цих векторів: ; Оскільки , тоді .
Звідси . ▲
1.109. Обчислити кут між векторами .
Оскільки , тоді
Маємо
. Отже , і . ▲
1.110. Знайти вектор , який перпендикулярний до векторів та відповідає умові .
Оскільки , тоді . Шуканий вектор має координати .
Отже
Розв’язуючи одержану систему, маємо
тобто . ▲
1.111. Задані вектори . Знайти координати векторних добутків:
Знаходимо:
▲
1.112. Задані вершини трикутника А(1; 2; 0), В(3; 0; -3) і С(5; 2; 6).
Обчислити його площу.
Знаходимо вектори і .
Площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , а тому знаходимо векторний добуток цих векторів
Звідси
▲
1.113. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо .
Маємо
(оскільки )
Звідси ▲
1.114. Знайти мішаний добуток векторів
.
▲
1.115. Знайти об’єм трикутної піраміди з вершинами А(-1; 0; 2), В(2; 1; 1), С(3; 0; -1), D(3; 2; 2).
Знайдемо вектори , які співпадають з ребрами піраміди і сходяться у вершині А: . Знаходимо мішаний добуток цих векторів:
Оскільки об’єм піраміди дорівнює паралелепіпеда (рис.14), побудованого на векторах , тоді
▲
Рис.14
1.116. Показати, що вектори компланарні.
Знаходимо мішаний добуток векторів
Оскільки , тоді задані вектори компланарні. ▲