3. История развития экономико-математического моделирования:

Первая экономико-математическая модель относится к 1758 г. Франсуа Кенэ: «Экономические таблицы» (построил одну модель, рассмотрел процесс общественного воспроизводства);

1) Математическая школа политэкономии 1838 г. О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства», Л. Вальрас (теория равновесия), В. Дмитриев (ввел понятие коэффициента полных затрат труда, ресурсов и др.), В. Паретто (ввел понятие многоцелевого оптимума).

2) Статистическое направление возникло в конце 19 века и охватило все страны. Наука – есть измерение, все измеряется эмпирическими данными, т.е. статистикой. Была создана модель: Гарвардский барометр - прогнозировал конъюнктуру рынка. Были разработаны методы обработки статистической информации, методика расчета. Крахом модели стала депрессия, т.к. ни одна модель не могла вывести из кризиса.

3) Эконометрика – соединение экономической теории и эмпирических данных

Межотраслевой балансовый метод

1. Назначение и структура межотраслевого баланса;

2. Анализ разделов межотраслевого баланса;

3. Математические модели межотраслевого баланса;

4. Коэффициенты прямых материальных затрат;

5. Плановые расчеты по межотраслевому балансовому методу;

6. Коэффициенты полных материальных затрат;

7. Равновесные цены в межотраслевом балансе.

1. Назначение и структура межотраслевого баланса:

Автор метода В. Леонтьев (1940 г.), который проводил исследования американской экономики 1919, 1929, 1939… гг. был удостоен Нобелевской премии. В России в 1961 г. был составлен отчетный баланс за 1959 г., согласно межотраслевому балансовому методу. Межотраслевой балансовый метод – это метод «затраты – выпуск». Межотраслевой балансовый метод предназначен для анализа, планирования производства и распределения продукции на различных уровнях, от предприятия до хозяйства страны в целом. Впервые метод был сделан на макроуровне и сейчас имеет наиболее широкое распространение именно в таком виде (мы тоже будем рассматривать их в этом виде). Балансы подразделяют по времени составления (плановые и отчётные), по единицам измерения (денежные и натуральные).

Модели по назначению могут быть:

1. Межотраслевые балансовые модели на макроуровне; объект исследования – отрасль.

2. Балансовые модели экономических районов, регионов; объект исследования – отрасль.

3. Балансовые модели отрасли; объект исследования – предприятие.

4. Матричные модели на предприятии; объект исследования – цех, участок, бригада.

Межотраслевой балансовый метод помогает найти технологические взаимосвязи между объектами исследования, структурными объектами.

Балансы по времени составления бывают: отчетные и плановые; по используемым единицам измерения: натуральные (продуктовые) и денежные.

В данном курсе рассматривается баланс на макроуровне, отчетный в денежном выражении. В балансе рассматривается все материальное производство. Разделим все материальное производство страны на n отраслей. В балансе каждая отрасль рассматривается с двух сторон: 1) как производитель продукции (строка баланса); 2) как потребитель продукции (столбец баланса).

Структура МБ:

Отрасль	Межотраслевые материальные потоки				Конечная продукция	Валовая продукция
	1	2	…	n
1 2 … n	x11 x21 … xn1	x12 x22 … xn2	… … … …	x1n x2n … xnn	y1 y2 … yn	x1 x2 … xn
Оплата труда	V1	V2	…	Vn
Чистый доход	m1	m2	…	mn

x_i - объем валовой продукции i-той отрасли (кол-во произведенной продукции за отчетный год в денежном выражении).

y_i – конечная продукция i-той отрасли (продукция которая не участвует в производственном процессе за рассматриваемый год).

x_ij – межотраслевые материальные потоки (стоимость средств, произведенных в i-той отрасли и направленные в j-тую отрасль на производственные нужды, в соответствии с технологией).

V_j – оплата труда j-той отрасли.

m_j – чистый доход j-той отрасли,

i = - строка; j = - столбец.

Например, пусть 1-я отрасль связана с производством электроэнергии, 2-я с производством автомобилей.

2. Анализ разделов межотраслевого баланса:

Вся таблица может быть разделена на 4 части:

I раздел (все материальные потоки) – отражение межотраслевых связей; по строке отражается распределение продукции данной отрасли по всем отраслям в соответствии с технологией, а столбец характеризует материальные затраты на продукцию в отчетном году. Затраты на будущее отражаются отдельной строкой с целью анализа технологии. Данный раздел используется во всех моделях.

II раздел – характеризует вещественную структуру конечной продукции, которая идет на личное потребление населения, общественное потребление (расходы на управление, здравоохранение, ЖКХ и т.д.) и производственные накопления. Производственные накопления не используются в отчётном периоде, но их необходимо учитывать. Вещественная структура НД, используемый НД – второй раздел.

III раздел – характеризует стоимостной состав конечной продукции (предпринимательский доход, оплата труда, налоги, амортизация). Сумма по разделу – суммарный чистый доход.

IV раздел – характеризует перераспределение первичных доходов населения, государства, предприятия через сферу обращения в конечный период, т.е. перераспределение денежных средств.

3. Математические модели межотраслевого баланса:

Представляет собой систему уравнений (если нет равенства, то нет баланса) следующего вида:

х ₁ = х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n + у₁

х₂ = х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n + у₂ (1)

…………………………

х_n = х_n1 + x_n2 + … + х_nn + у_n,

где х₁ – вал первой отрасли (сколько всего произведено); x_1i – направлено произведённой продукции в i-отрасль; у₁ – передано в конечное потребление. Такого вида уравнения составляются для каждой из n отраслей. Получили систему. Это модель, характеризующая производство и распределение продукции по отраслям. Такая модель может строиться как для денежных, так и для натуральных балансов.

Если баланс выполнен в денежном выражении, то для него составляется также система уравнений по столбцам:

х ₁ = х₁₁ + х₂₁ + ... + х_n1 + V₁ + m₁

х₂ = х₁₂ + х₂₂ + …+ х_n2 + V₂ + m₂ (2)

…

х_n = х_1n + x_2n + …+ x_nn + V_n + m_n,

где х₁ – вал первой отрасли; х_i1 – перенесённая стоимость (переданные первой отрасли ресурсы); а V₁ + m₁ – вновь созданная стоимость в первой отрасли. Такого вида уравнения составляются для каждой из n отраслей. Эта модель характеризует стоимостной состав произведенной продукции, только для денежных балансов.

,

где – добавленная стоимость по всем отраслям.

(3),

где – конечная продукция в вещественном выражении (энергия и т.д.),

– конечная продукция в стоимостном выражении.

4. Коэффициенты прямых материальных затрат:

Материальные затраты прямо пропорциональны объему производства.

х_ij = a_ij  х_j (4)

a_ij = х_ij / х_j = затраты / объем (5), где a_ij = const.

a_ij – коэффициенты прямых материальных затрат – это количество продукции i-отрасли которой необходимо направить в j-отрасль для производства единицы валовой продукции, т.е. нормативы материальных затрат.

a _ij представляются в виде матрицы размерностью, соответствующей первому разделу баланса. По столбцам отражаются затраты на единицу продукции, а по строке распределение ресурсов по отраслям.

а₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n - усреднение, укрепление существующих

А = (а_ij) = ……………… технологических норм.

а_n1 a_n2 … a_nn

ПРИМЕР:

Пусть все материальное производство поделено на три отрасли: сельское хозяйство, промышленность и прочее. Составлен отчетный баланс:

Отрасль	Межотраслевые материальные потоки			Конечная продукция	Валовая продукция
	С/х	Пром-ть	Прочее
С/х Пром-ть Прочее	10 20 20	40 60 20	20 40 20	30 80 40	100 200 100

а₁₁ = 10 / 100 = 0,1

а₁₂ = 40 / 200 = 0,2

а₁₃ = 20 / 100 = 0,2

а₂₁ = 20 / 100 = 0,2

а₂₂ = 60 / 200 = 0,3 и т.д.

0,1 0,2 0,2

А = (а _ij) = 0,2 0,3 0,4 - характеризует связь между отраслями, коэффициенты

0,2 0,1 0,2 используются для анализа и планирования.

5. Плановые расчеты по межотраслевому балансовому методу.

Запишем модель (1) через коэффициенты прямых материальных затрат:

х ₁ = а₁₁  х₁ + а₁₂  х₂ + … + а_1n  х_n + у₁,

х₂ = a₂₁  х₁ + a₂₂  х₂ + … + a_2n  х_n + у₂, (6)

…………………………………….

х_n = a_n1  х₁ + a_n2  x₂ + … + a_nn  х_n + у_n.

в системе n – уравнений, 2n – переменных. Чтобы использовать эту модель в плановых расчетах задают n переменных вне модели, тогда из системы единственным образом находят значения остальных n переменных:

1) x₁, х₂…, x_n – заданы, например, из прошлого года, тогда из системы (6) определяем y₁, у₂…, y_n (т.е. это путь от достигнутого).

2) Вне модели задаются переменные y₁, у₂…, y_n. Изучив спрос, отчетные данные из системы (6) определяем x₁, х₂…, x_n.

Недостатки:

- полученные объемы производства будут не соответствовать реальным возможностям;

- не все предприятия производят продукцию для конечного потребления и спрос определять бессмысленно.

3) Для базовых отраслей задаются объемы валовой продукции, для других отраслей – объемы конечной продукции так, чтобы всего было задано n переменных. Тогда остальные n переменных будут найдены из системы (6).

ПРИМЕР:

Допустим для межотраслевой системы, которая у нас есть заданы объемы конечной продукции на следующий год:

у₁ = 60, у₂ = 80, у₃ = 40, тогда

х₁ = 0,1  х₁ + 0,2  х₂ + 0,2  х₃ + 60,

х₂ = 0,2  х₁ + 0,3  х₂ + 0,4  х₃ + 80,

х₃ = 0,2  х₁ + 0,1  x₂ + 0,2  х₃ + 40.

х₁ = 140,2; х₂ = 218,6; х₃ = 112,4.

х₁₁ = а₁₁  х₁ = 14; х₂₁ = 28; х₃₁ = 28;

х₁₂ = 0,2  218,6 = 43,7; х₂₂ = 65,56; х₃₂ = 21,86;

х₁₃ = 0,2  112,4 = 22,47; х₂₃ = 44,95; х₃₃ = 22,47.

Плановый баланс:

Отрасль	Межотраслевые материальные потоки			Конечная продукция	Валовая продукция
	С/х	Пром-ть	Прочее
С/х Пром-ть Прочее	14 28 28	43,7 65,56 21,86	22,47 44,95 22,47	60 80 40	140,2 218,6 112,4

х ₁ = а₁₁  х₁ + а₁₂  х₂ + … + а_1n  х_n + у₁,

х₂ = a₂₁  х₁ + a₂₂  х₂ + … + a_2n  х_n + у₂, (6)

…….…………………………….

х_n = a_n1  х₁ + a_n2  x₂ + … + a_nn  х_n + у_n,

Х = (х₁, х₂,…, х_n) – валовые выпуски продукции по отраслям.

У = (у₁, у₂,…, у_n)

А = (а_ij)

Х = А  Х + У (6) (в матричном виде)

Е  Х – А  Х = У

(Е - А)  Х = У домножим обе части слева на (Е - А)^-1.

Х = (Е - А)^-1  У = S  У (*)

S = (Е - А)^-1,

s₁₁ s₁₂ … s_1n

где S = (s_ij) = s₂₁ s₂₂ … s_2n - коэффициенты полных материальных затрат

………..

s_n1 s_n2 … s_nn

Уравнение (*) в виде системы:

х ₁= s₁₁  y₁ + s₁₂  y₂ + … + s_1n  y_n,

х₂= s₂₁  y₁ + s₂₂  y₂ + … + s_2n  y_n,

…………………………………… (8)

х_n = s_n1  y₁ + s_n2  y₂ + … + s_nn  y_n,

Данная модель удобна для плановых расчетов, позволяет сбалансировать объемы продукции и валовую продукцию.

6. Коэффициенты полных материальных затрат:

s_ij – количество продукции i-той отрасли, которую необходимо передать j-той отрасли в качестве средств производства, чтобы она выдала в конечное потребление единицу продукции.

s_ij – нормы валовых выпусков на единицу конечной продукции.

Каждый коэффициент s_ij представляет сумму прямых и косвенных затрат, обусловленных выпуском единицы продукции: S_ij = a_ij + k_ij, где k_ij – коэффициент косвенных материальных затрат - затраты на предшествующих стадиях производства, а a_ij – коэффициенты прямых материальных затрат.

a_ij < s_ij на сумму косвенных материальных затрат.

Коэффициенты полных затрат электроэнергии на 1 автомобиль:

Автомобиль  электроэнергия и сталь (прямые затраты)  электроэнергия и чугун (косвенные затраты 1-го порядка)  электроэнергия и руда (косвенные затраты 2-го порядка)  …

Косвенные затраты 1-го порядка – это прямые затраты на производство того количества средств, которое идет на единицу рассматриваемой продукции.

s_ij – зависит от технологии всех отраслей. Относительно постоянны, используются для анализа и планирования.

a_ij – зависят от технологии одной отрасли.

Коэффициенты s_ij и a_ij наиболее отличаются для всех отраслей, за исключением добывающей и нефтеперерабатывающей промышленности.

ПРИМЕР:

Плановые расчеты:

0,1 0,2 0,2 у₁ = 60,

А = 0,2 0,3 0,4 у₂ = 80,

0,2 0,1 0,2 у₃ = 40.

0,9 -0,2 -0,2 -1 1,34 0,46 0,57

S = [ Е – А ]^-1 = -0,2 0,7 -0,4 = 0,62 1,75 1,03

-0,2 -0,1 0,8 0,41 0,33 1,52

По системе (8) находим объемы производства:

х₁ = 1,34  60 + 0,46  80 + 0,57  40 = 140,2

х₂ = 218,6,

х₃ = 112,4.