§ 2. Теоретические основы метода плоского источника постоянной тепловой мощности (зонда постоянной мощности).

Аналитическая постановка задачи соответствует цели исследований теплоизоляторов в форме плоскопараллельных пластинок. Формулировка соответствующих задач не отражает свойства материалов - плохой или хороший проводник тепла. Между тем, этот фактор существенно влияет на систематическую ошибку метода. При исследовании, например, металлов, при прочих равных условиях систематическая погрешность за счет контактных термических сопротивлений может быть чрезвычайно велика. В качестве первого и основного приближения метода рассмотрим задачу теплопроводности в следующей формулировке. Дана неограниченная пластина толщиной 2h (начало координат в центре), имеющая начальную температуру t₀=const.

В некоторый момент времени в центре пластины начинает действовать тепловой поток постоянной мощности, а ее основания принимают температуру Т_с = const. Таким образом, требуется решить уравнение (5) при краевых условиях вида

(6)

(7)

(8)

где q (Вт/м² ) - удельный тепловой поток.

Решение задачи при условиях (6)-(8) позволяет реализовать самые разнообразные методы определения ТФС. Если источник отсутствует, т.е. q=0, то имеем задачу для неограниченной пластины при граничном условии первого рода, из решения которой можно найти удобные расчетные соотношения для определения коэффициента температуропроводности; при и Т_С ==Т₀ - задачу для полуограниченного тела (полупространства), дающую возможность реализовать чисто нестационарные методы комплексного определения ТФС. Рассмотрим основные этапы решения задачи (6) - (7) при упрощенном условии (8), когда

(9)

т.е. основания пластины поддерживаются при температуре, равной начальной. Решение задачи будем искать методом преобразования Лапласа:

(10)

Применяя (10) к (5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения

(11)

При этом оказалось использованным начальное условие (6).

Преобразование граничных условий (7), (9) приводит к соотношениям:

(12)

(13)

Так как (11) - обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, то его решение ищется в обычной форме:

(14)

Используя (12) - (I3), находим постоянные в (14), а следовательно - решение задачи для изображения. Это решение можно записать в виде:

(15)

Выражение (15) есть отношение двух полиномов, удовлетворяющих теореме разложения. Корни полинома находятся из соотношения

(16)

Следовательно, (16) дает:

1. S=0 (простой корень)

2. бесчисленное множество корней, определяемых из уравнения:

(17)

Поэтому

(18)

Оригинал, т.е. решение задачи, находим, применяя к (15) обратное преобразование Лапласа

(19)

Теорема разложения (19) указывает последовательность выполнения операций для получения окончательного решения задачи. Полагая, что необходимые выкладки будут проведены самостоятельно, запишем решение задачи в виде:

(20)

В целом (20) отражает нестационарный процесс изменения температуры в пластине и включает стационарную и чисто нестационарную составляющие (соответственно первое и второе слагаемые (20)). Перепишем (20) в виде

(21)

Теоретически стационарный режим наступает при (практически при Fo 2). Тогда:

(22)

Ряд в (21) быстро сходящийся, т.к.

Расчеты показывают, что при Fo 2 все члены ряда пренебрежимо малы по сравнению с первым его членом. Поэтому (21) можно переписать в виде:

(23)

Следовательно, температура в любой точке пластины может быть определена на основе простого соотношения (23), пpичeм

(24)

Разность (24) при некотором, вполне определенном, значении описывается простой экспонентой. Такой тепловой режим называется регулярным. При отсутствии локальных или объемных источников (см., например, формулировку задачи при условии (6), (8)) стационарная составляющая равна нулю и закономерности регулярного режима упрощаются.

Основная особенность регулярного режима выявляется при преобразовании (24). Логарифмируя это выражение, найдем

(25)

т.е. в графическом представлении (25) как функции времени эта зависимость - прямая линия, наклон которой определяется теплофизическими свойствами и интенсивностью теплового воздействия. Если записать (25) для двух моментов времени, то путем несложных преобразований (выполнить самостоятельно) можно найти, что величина, называемая темпом изменения температуры в регулярной режиме, постоянна, т.е.:

(26)

Таким образом, характерные особенности регулярного режима при наличии локального источника тепла представляются соотношениями (25)-(26). Коэффициент температуропроводности находится из (26):

(27)

Величину m очень просто можно найти из графика

(28)

Отметим, что темп изменения температуры не зависит от координаты, причем рассмотренные закономерности справедливы и для тел другой формы. Аналогичные формулы будут отличаться только коэффициентами.

Измеряя разность температур между центром пластины (х=0) и ее основанием, из (22) находим:

(29)

Формулировка задачи и рассмотренные выкладки определяют схему эксперимента и методику обработки экспериментальных данных. Очевидно, что экспериментальная установка должна обеспечивать выполнение условий (6), (7), (9) на протяжении всего хода эксперимента, а также регистрацию зависимости (21), точнее, зависимости

(30)

Экспериментальным критерием вступления системы в регулярный режим является прямолинейность зависимости (28), которая строится по данным (30). В начальной стадии процесса (28) - некоторая криволинейная функция, монотонно переходящая в прямую.

Таким образом, рассмотренная методика комплексного определения ТФС предусматривает использование регулярной и стационарной стадии теплового процесса. Без знания стационарной составляющей нельзя определить ни коэффициент теплопроводности, ни температуропроводность. Основное достоинство метода - простота реализации, надежность и высокая точность. Недостаток – длительность эксперимента, необходимость знания стационарной составляющей, а также неиспользование начальной стадии нагрева. Для исключения стационарной составляющей можно найти скорость нагрева. Тогда, используя описанные приемы, найдем, что

(31)

Знание скорости нагрева позволяет непосредственно определить теплоемкость образца.

Решение задачи в форме (20) неудобно для расчетов в начальной стадии (число Fo мало), т.к. для расчета температуры с приемлемой точностью необходимо брать очень большое количество членов ряда. Для практического использования начальной стадии представим решение задачи в иной форме. Операционные методы дают такую возможность. Обратимся снова к решению (15) для изображения. Разложим в ряд:

Тогда (15) можно представить в виде:

(32)

Для перехода от изображения (32) к оригиналу воспользуемся таблицами из которых следует, что:

(33)

где , -- интеграл вероятностей и его дополнение, причем , , , ,

С учетом (33) решение задачи может быть представлено в виде:

(34)

Где - локальное число Фурье, Положим . Тогда второй член (34) и все члены ряда обращаются в ноль. Следовательно, решение нашей задачи можно записать в виде:

(35)

что совпадает с известным ранением для полуограниченного тела при q=const [1]. Соотношение (35) может быть использовано для определения тепловой активности

(36)

характеризующей аккумуляционную тепловую способность тела.

Действительно, при x=0 (35) можно записать в виде

(37)

Графическое изображение этой зависимости в координатах представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с тангенсом угла наклона к оси абсцисс:

(38)

Из (38) и (37):

(39)

Коэффициент температуропроводности может быть определен по времени запаздывания, т.е. времени, в течение которого температура в некотором сечении x станет такой же, как и температура на нагревателе в момент времени . Необходимые расчетные соотношения находятся из равенства . Температуропроводность можно также найти по отношению температур в каких-либо двух точках образца с использованием выражения (35).