Задача №7 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши

Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию на отрезке c шагом методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

№1. .

№2. .

№3. .

№4. .

№5. .

№6. .

№7. .

№8. .

№9. .

№10. .

№11. .

№12. .

№13. .

№14. .

№15. .

№16. .

№17. .

№18. .

№19. .

№20. .

Задача №8 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание. Найти численное решение линейной краевой задачи

для дифференциального уравнения второго порядка:

1. конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг ;

2. методом прогонки с точностью шаг .

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

№6.

№7.

№8.

№9.

№10.

№11.

№12.

№13.

№14.

№15.

№16.

№17.

№18.

№19.

№20.

Примеры решения задач к контрольной работе №9 Задача №1

Дана таблица значений функции . Интерполируя эту таблицу многочленом Лагранжа (вариант 1-10) и многочленом Ньютона (вариант 11-20), найти приближенное значение функции для заданного значения аргумента . Пусть функция задана в равноотстоящих узлах таблицы:

0.101 0.106 0.111 0.116 0.121 0.126	1.26183 1.27644 1.29122 1.30617 1.32130 1.32660

Вычислим значение функции при .

Решение. 1) Воспользуемся формулой

,

где , , , . Здесь . Вычисления приведены в таблице:

0 1 2 3 4 5	0.101 0.106 0.111 0.116 0.121 0.126	-120 24 -12 12 -24 120	-352.8 46.56 -11.28 -0.72 25.44 -247.2	-0.0035766 0.0274149 -0.1144691 -1.8141250 0.0519379 -0.0054069

Итак, , .

Следовательно, .

2) Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислим значения функции при следующих значениях аргумента:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260	0.106044 0.113276 0.119671 0.125324 0.130328 0.134776 0.138759 0.142367 0.145688 0.14809

Составим таблицу конечных разностей:

1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260	0.106044 0.113276 0.119671 0.125324 0.130328 0.134776 0.138759 0.142367 0.145688 0.14809	0.007232 0.006395 0.005653 0.005004 0.004448 0.003983 0.003608 0.003321 0.003121 ------	-0.000837 -0.000742 -0.000649 -0.000556 -0.000465 -0.000375 -0.000287 -0.000200 ------ ------	0.000095 0.000093 0.000093 0.000091 0.000090 0.000088 0.000087 ------- ------ ------

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значений функции при и воспользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:

,

где .

1) Если , то примем ; тогда

,

2) Если , то примем ; тогда

,

Для вычисления значений функции при и воспользуемся формулой Ньютона для интерполирования назад:

,

где .

3) Если , то примем ; тогда

,

4) Если , то примем ; тогда

,