- •Свойства пределов функции
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Свойства сходящихся последовательностей
- •5) Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая последовательность.
- •6) Пусть последовательность – ограниченная, а последовательность – бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой последовательностью.
- •7) Пусть , – сходящиеся последовательности и
- •8) Пусть и ( ), . Тогда .
- •9) Пусть последовательности и сходятся и для любого ℕ имеет место неравенство
- •10) Пусть последовательности и сходятся и имеют равные пределы. Если для любого ℕ имеет место неравенство
- •Свойства бесконечно больших последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Свойства бесконечно больших функций
- •1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •3. Правила дифференцирования
1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.
.
Обозначают: , , , .
Производной функции в точке справа (слева) называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают: , – производная в точке справа,
, – производная в точке слева.
Очевидно, что справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
.
Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция имеет производную в точке , то функция в этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при .
⇒ ;
⇒
.
Но это означает, что непрерывна в точке (см. геометрическое определение непрерывности). ∎
Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке . Например, функция непрерывна, но не имеет производной в точке . Действительно,
,
,
и, следовательно, не существует.
Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции и обозначают
, , , .
Операцию нахождения для функции ее производной функции называют дифференцированием функции .
УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что
, ℝ;
, ℝ;
, , ℝ;
, , .
2. Физический и геометрический смысл производной
1) Физический смысл производной. Если функция и ее аргумент являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной относительно переменной в точке . Например, если – расстояние, проходимое точкой за время , то ее производная – скорость в момент времени . Если – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени , то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .
2) Геометрический смысл производной.
П усть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
Р ассмотрим кривую (т.е. график функции ). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент ).
По определению углового коэффициента
,
где – угол наклона прямой к оси .
Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при
,
⇒ ,
⇒ .
Следовательно,
.
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой в точке можно записать в виде
Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , то уравнение нормали к кривой в точке будет иметь вид
, если .
Если же , то касательная к кривой в точке будет иметь вид
,
а нормаль .